时间可构造性的等效定义

我们说函数是时间可构造的，如果存在确定性多带Turing机，该机在长度为所有输入上最多执行步对于每个，存在一些长度为输入，精确地在该输入上进行步。 $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $M$ $n$ $f(n)$ $n$ $n$ $M$ $f(n)$

我们说函数是完全时间可构造的，如果存在确定性多带图灵机，在长度为所有输入上，它们精确地执行步。 $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $M$ $n$ $f(n)$

问题1：是否存在时间可构造且时间不完全构造的功能？

如果，答案是肯定的（请参阅此答案）。是否可以将“是”的条件增强为？可以证明“是”吗？ $EXP-TIME \neq NEXP-TIME$ $P\neq NP$

问题2：如果我们在定义中仅允许使用2磁带图灵机，那么（完全）时间可构造函数的类是否会发生变化？

问题3：认为所有好的功能都是完全可构造时间的，“可证明的”原因是什么？

论文
小林晃次郎：关于函数的证明时间可构造性。理论。计算科学 35：215-225（1985）
部分回答了Q3。此答案的部分摘要和升级。我以第三季度为答案。

历史上，使用实时可数函数的概念来代替（完全）时间可构造的。有关更多信息，请参见此问题。

cc.complexity-theory time-complexity terminology

— 大卫·G
source

很好奇-您能为我指出这些定义的参考吗？我不熟悉constructible功能，我不能在网上找到这些定义（这也并不明显，我是否是相当于例如在维基百科的）。

— usul 2013年

@usul参考是：JE Hopcroft，JD Ullman。介绍自动机理论，语言和计算。1979年计算机科学的Addison-Wesley系列在此处可以找到相同的定义：cse.ohio-state.edu/~gurari/theory-bk/theory-bk-fivese2.html

— David G

在过去的几天中，我对（完全）时间可构造函数进行了很多思考，并将介绍我通过回答问题Q1和问题3得出的结论。第二季度似乎太难了。

第三季度：

Kobayashi在他的文章中（有疑问的是引用）证明了函数，对于它存在 st ，如果它是完全可构造的可在时间内计算。（请注意，输入或输出为一元/二进制无关紧要，因为我们可以在线性时间中在这两种表示之间进行转换）。这使得以下功能完全具有时间可构造性：， $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $\epsilon>0$ $f(n)\geq (1+\epsilon)n$ $O(f(n))$ $2^n$ ，，，所有多项式超过 ST ...小林也证明了充分的时间可构造为生长速度慢于某些功能，像为 ... $2^{2^n}$ $n!$ $n\lfloor \log n \rfloor$ $p$ $\mathbb{N}$ $p(n)\geq (1+\epsilon)n$ $(1+\epsilon)n$ $n+\lfloor\lfloor\log n\rfloor^q\rfloor$ $q\in\mathbb{Q}^+$

继续以完全时间可构造的函数为例，可以证明如果和是完全时间可构造的，则，，和也是完全时间可构造的（后面的内容直接来自小林的定理3.1）。这完全使我相信，许多不错的功能的确是完全可构造时间的。 $f_1$ $f_2$ $f_1+f_2$ $f_1f_2$ $f_1^{f_2}$ $f_1\circ f_2$

令人惊讶的是，小林没有找到一种方法来证明（nice）函数完全时间可构造性（我也没有）。 $\lfloor n\log n\rfloor$

让我们还评论一下Wikipedia文章中的定义：如果存在图灵机，给定字符串，则在时间内输出，则函数是时间可构造的。 $f$ $M$ $1^n$ $f(n)$ $O(f(n))$ 我们看到此定义与函数的完全时间可构造性的定义等效。 $f(n)\geq (1+\epsilon)n$

Q1：

这个问题有一个非常有趣的答案。我声称如果所有时间可构造函数都是完全时间可构造的，则。为了证明，让我们以一个任意问题，。然后存在一个，st可以由NDTM在求解 $EXP-TIME=NEXP-TIME$ $L\in NEXP-TIME$ $L\subseteq\{0,1\}^*$ $k\in\mathbb{N}$ $L$ $M$ $2^{n^k-1}$ 的步骤。为了简单起见，我们可以假设在每个步骤最多进入两个不同的状态。现在定义函数 $M$

f (n) = {\begin{cases} 8 n + 2 & if (first ⌊ \sqrt[k]{⌊ \log n ⌋ + 1} ⌋ bits of b i n (n)) \in L \\ 8 n + 1 & else \end{cases}

$f(n)=\left\{\begin{array}{ll} 8n+2 & \mbox{if }\left(\mbox{first } \lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\mbox{ bits of } bin(n)\right)\in L\\ 8n+1 & \mbox{else} \end{array} \right.$

我声称是时间可解的。考虑以下确定性图灵机： $f$ $T$

上输入长度的它计算 $w$ $n$ 在时间 $\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$ $O(n)$
然后在这些位上模拟，其中的位确定要采取的选择（以前是非确定性的）。 $M$ $w$
接受iff 。 $\left(M\textrm{ accepts using choices given by }w\right)$

注意的长度（）是不够，它确定所有的非确定性的选择，因为输入 $w$ $=n$ $M$ 使得至多步骤。 $\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$ $n$

我们可以在大多数运行步。现在，以下图灵机证明是时间可构造的： $T$ $8n+1$ $f$

在长度为输入上运行并并行计算步数，从而完成大约步。 $w$ $n$ $T$ $8n$
如果在下一步中被拒绝或将被拒绝，则在下一步中进入停止状态。否则，再走一步，然后进入停止状态。 $T$

现在假设是完全时间可构造的。我们将证明，这导致。 $f$ $EXP-TIME=NEXP-TIME$

以下算法解决了： $L$

在输入，令为具有二进制表示形式的数字（零）。由此可见， $x$ $n$ $x00\ldots 0$ $|x|^{k-1}$ 。 $x=\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$
在时间计算并检查它是否可被2整除。 $f(n)$ $f(n)$

$L$ $L\in NEXP-TIME$ $EXP-TIME=NEXP-TIME$

— 大卫·G
source

非常好！[填充以使评论框开心]

— EmilJeřábek3.0

这里也使用与问题Q1答案中提出的想法非常相似的想法。

— David G