为SAT找到最小电路的复杂性了解多少？

我们所了解的发现最小的电路，其计算坐起长度的复杂性？ $n$

更正式地讲：给定作为输入，输出一个最小电路的函数的复杂度是多少，使得对于任何带有公式，？ $1^{n}$ $C$ $\varphi$ $|\varphi| \leq n$ $C(\varphi) = SAT(\varphi)$

（我对下限特别感兴趣。）

天真的确定性算法（通过蛮力计算SAT直到长度，然后按大小顺序尝试所有电路，直到找到正确计算SAT直到长度）需要时间来计算SAT，然后增加时间以找到最小电路，其中是最小电路的大小。 $n$ $n$ $\leq 2^{O(n)}$ $O(2^n 2^M)$ $M$

是否存在一种确定性算法，可为运行时间为 SAT找到最小电路，其中是最小电路的大小？还是暗示某些复杂性崩溃了？ $o(2^n 2^M)$ $M$

尽管与我的问题有关，但有两件事绝对不是我要问的（这就是为什么我觉得搜索起来有些困难）：

电路最小化问题：给定电路（或其真值表给出的函数或其他几种变型），找到一个计算与相同函数的最小电路。即使电路最小化很容易，也不一定意味着上述任务很容易，因为即使计算我们想要最小化的函数（SAT直到长度）也被认为是困难的，而在电路最小化问题中，函数想要最小化是免费的（作为输入给出）。 $C$ $f$ $C'$ $C$ $n$
$NP$ 与。我的问题不仅仅在于最小电路的尺寸。无论大小如何，寻找最小电路的复杂性都与之有关。显然，如果我们可以在多项式时间内计算出最小的电路，则（实际上是，因为这时电路族是均匀的），但是反之则不必成立。的确，我相信Immerman和Mahaney是第一个构建但的预言家（即具有多项式大小的电路，但无法在多项式时间内找到它们）。 $P/poly$ $NP \subseteq P/poly$ $NP \subseteq P$ $P$ $NP \subseteq P/poly$ $P \neq NP$ $NP$

cc.complexity-theory sat

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
source

您想要无条件的下限吗？（当然，时间复杂度的下限是SAT的电路复杂度，但我们对后者几乎没有什么具体了解。）

— Ryan Williams

@Ryan：像通常这样，无条件会很好，但可能太多了。我在输出大小（=最小电路的大小）方面添加了第二个有关复杂性的问题，以举例说明的方式进行说明。

— 约书亚·格罗肖

啊，我现在明白了。这是一个非常好的问题。Bshouty等人使用来自学习SAT电路的算法的思想，有可能改善朴素的界限。如果您已经找到了最大尺寸的SAT电路，则可以进行引导并使用它来更有效地找到较大尺寸的电路。

— 瑞安·威廉姆斯

让我们假设一个人不能不均匀地解决SAT问题比统一解决问题要快得多。也就是说，有一个TM M在时间T（n）求解SAT，并且SAT的最小电路的大小T'（n）不比T（n）小很多（例如 -尤其是，如果用于求解SAT的最小电路的大小为，则可能成立。 $T(n) = poly(T'(n))$ $2^{\Omega(n)}$

因此，只要在基本上最佳的时间内（通过编写输出所花费的时间），对一个电路进行一些典型的M模拟，就可以得到一个“几乎”最小的电路。正是出于这个原因，我猜基于任何“不错”的假设，这个问题将没有下界。但是，我不知道如何从“几乎最小”变为实际最小。这样做的一种方法是利用以下事实：在多项式层次结构中发现一个问题，即找到大小为的电路是一个问题，因此您应该能够在大约时间内求解它，即如果。 $S$ $T(T(n))$ $2^{o(M)}$ $T(n)=2^{n^{o(1)}}$

— 波阿斯·巴拉克（Boaz Barak）
source