扩展器图上的NP难题？

在2006年题为EXPANDER GRAPHS的演讲中，还有什么奥秘吗？，Nati Linial提出了以下未解决的问题：

当限制在扩展图上时，图上的哪个 hard计算问题仍然难以解决？ $NP$

从那时起，是否有任何进展证明难题的结果？ $NP$

cc.complexity-theory np-hardness expanders

有人可以解释为什么这个问题很有趣吗？当仅限于扩展图时，是否有任何NP难题变得容易的示例？

— Jukka Suomela 2010年

@Jukka：对于小（例如），扩展器可以是正规的，但是对于小的最大度图（例如图形着色），某些NP难题很容易。

d

$d$

d

$d$

d = 3

$d=3$

d

$d$

d

$d$

d < 4

$d<4$

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年

@András：当然可以，但这与扩展属性无关。让我改一下：我们有，是很难对问题的例子 -regular的绘图，但容易对 -regular扩展图形？

d

$d$

d

$d$

— Jukka Suomela

@Jukka：当约束图是扩展器时，独特的游戏显示具有多项式时间近似算法[Arora-Khot-Kolla-Steurer-Tulsiani-Vishnoi STOC '08]。对于一般图形来说，情况并非如此，如果UGC为真，则实际上没有多项式时间算法。我认为这是引发土耳其问题的动机。

— arnab

@Jukka，我的动机是了解扩展器的随机属性与问题的计算难度之间的关系。例如，我不希望独立设备在扩展器上很容易。

— Mohammad Al-Turkistany

Answers:

如果“不平衡膨胀剂”计数作为该问题的目的，扩展器（不平衡膨胀：二分图，使得对于每个子集，，的分数和之间边大约 $G=(A,B,E)$ $A'\subseteq A$ $B'\subseteq B$ $A'$ $B'$ ${|A'||B'|}/{|A||B|}$ ），那么是的，扩展器上的许多问题（例如约束满足问题）都是NP难以近似的。

特别是，两次查询，低错误的PCP定理的证明（与Ran Raz一起在2008年提出）构造了扩展器图。

— 达娜·莫什科维兹（Dana Moshkovitz）
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在你的最后一行，你的意思是你的论文构建不平衡的扩展，因为你可能有一个回答这个问题：cstheory.stackexchange.com/questions/592/...

— 苏雷什Venkat

Suresh：是的，本文构建了不平衡的扩展器/采样器/提取器，但没有比已知的扩展器/采样器好。

— Dana Moshkovitz

我猜很容易表明，许多确切的问题（也许还有强逼近问题）在扩展器上都是NP难的。这个想法是，如果在个顶点上取任意恒定度图，并在不相交的顶点上添加另一个展开器，并在和之间进行匹配，那么您将得到一个展开器。原因是任何少于一半顶点的集合，要么具有恒定比例的外部匹配边，要么与交集最多具有顶点的分数。 $G$ $n$ $H$ $n$ $G$ $H$ $H$ $0.51$ $H$

由于您可以任意选择（例如取随机图），因此您可以知道 NP问题的最佳解决方案，因此可能会有希望（取决于问题），给定组合图的解决方案，您可以得到至少是的近似解。但是我没有针对任何具体问题对此进行验证。 $H$ $H$ $G$

当然，如上所述，存在一些自然问题（最著名的是独特的游戏），在这种情况下，人们无法做这些技巧，尤其是算法对于扩展器是已知的，而在一般情况下是未知的。一个人也应该能够提出一个人为的问题的示例，该问题通常是NP困难的，但在扩展器上很容易（例如，在图形上处理任意NP困难问题，并对其进行修改，以使所有谱隙大于实例为是...）。 $1/\log n$

— 波阿斯·巴拉克
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