DAG必须具有多少个不相交的边角切割？

以下问题与Bellman-Ford - 最短路径动态编程算法的最优性有关（有关连接，请参见此帖子）。同样，肯定的回答将暗示用于 STCONN问题的单调非确定性分支程序的最小大小为。 $s$ $t$ $\Theta(n^3)$

设为一个源节点和一个目标节点的DAG（有向无环图）。甲 - 切口是一组边的，其脱除破坏所有 -长度的路径 ; 我们假设中有这样的路径。需要注意的是较短的 -的路径需要不被破坏。 $G$ $s$ $t$ $k$ $s$ $t$ $\geq k$ $G$ $s$ $t$

问题： 是否必须至少（大约）不相交的切口？ $G$ $k$ $k$

如果没有比短的 -路径，则答案为“是”，因为我们将以下已知的最小-最大事实（对Menger定理的对偶）归因于Robacker。一个 -切口是用于-cut（破坏所有 -路径）。 $s$ $t$ $k$ ^$\ast$ $s$ $t$ $k$ $k=1$ $s$ $t$

事实： 在任何有向图中，不相交的 -切口的最大数量等于 -路径的最小长度。 $s$ $t$ $s$ $t$

请注意，即使图不是非循环的，这仍然成立。

证明： 琐碎的是，最小值至少是最大值，因为每个 - 路径与在边缘中切割的每个 -交叉。为了看到相等，令是从到的最短路径的长度。令，对于，令为离开的边的。显然，集合是不相交的，因为集合是这样的。因此，仍然需要证明每个是一个 - $s$ $t$ $s$ $t$ $d(u)$ $s$ $u$ $U_r=\{u\colon d(u)=r\}$ $r = 1,\ldots, d(t)$ $E_r$ $U_r$ $E_r$ $U_r$ $E_r$ $s$ $t$ 切。为了说明这一点，取任意的 -路径与和。由于，距离序列必须通过开始达到的值在并在每个步骤中将值最多增加。如果某个值减小，那么我们必须达到后者的值。所以，必须有一个其中来自跳跃到开始，这意味着边缘 $s$ $t$ $p=(u_1, u_2, \ldots,u_m)$ $u_1=s$ $u_m=t$ $d(u_{i+1})\leq d(u_i)+1$ $d(u_1),\ldots,d(u_m)$ $d(u_m)=d(t)$ $d(u_1)=d(s)=0$ $1$ $d(u_i)$ $d(u_i)$ $j$ $d(u_j)=r$ $d(u_{j+1})=r+1$ $(u_j,u_{j+1})$ 根据需要属于。QED $E_r$

但是，如果路径也短（比短）怎么办？有任何提示/参考吗？ $k$

^{*}

$^{\ast}$ JT Robacker，关于网络的最短链和不交割的最小-最大定理，研究备忘录RM-1660，兰德公司，加利福尼亚州圣莫尼卡，1956年1月12日。

编辑（一天之后）：大卫·爱普斯坦（David Eppstein）通过简短而非常好的辩论，否定了上述原始问题：完整的 DAG（传递锦标赛）不能超过四个不相交的切口！实际上，对于关于，他证明了以下有趣的结构性事实。如果切割不包含任何与或边，则该切割为纯切割。

T_{n}

$T_n$

k

$k$

k

$k$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

s

$s$

t

$t$

中的每个纯切口都包含长度为的路径。 $k$ $T_n$ $k$

特别是，这意味着每两个纯切口必须相交！但是也许仍然有很多纯切割不会“太多”重叠。因此，一个轻松的问题（对STCONN的影响将是相同的）： $k$ $k$

问题2： 如果每个纯切口都有边，那么图是否必须有大约边？ $k$ $\geq M$ $\Omega(k\cdot M)$

与STCONN的复杂性有关的连接来自Erdős和Gallai 的结果，即必须从（无向的）中除去边缘，才能消除所有长度为路径。 $(k-1)m/2$ $K_m$ $k$

编辑2：我现在在mathoverflow上问了问题2 。

graph-theory circuit-complexity lower-bounds

— 16转
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简短的回答：不。

令为个顶点的完整DAG（传递锦标赛），其中和为源和宿，并令。观察到最多有四个不相交的切口，其中包含更多的边沿入射到或多于边沿入射到。因此，如果存在许多不相交的割，我们可以假定存在一个割，其中不包含大量入射到和的边。 $G$ $n$ $s$ $t$ $k=\sqrt{n/3}$ $n/3$ $s$ $n/3$ $t$ $C$ $s$ $t$

现在让是诱导完整的子由顶点集，使得边缘和不属于。的顶点数量至少为，因为否则会接触到与或太多边。但是，不能包含路径，因为如果存在这样的路径，则可以将其与和串联以在形成长路径。因此，最长路径的分层 $X$ $G$ $x$ $sx$ $xt$ $C$ $X$ $n/3$ $C$ $s$ $t$ $X\setminus C$ $k$ $s$ $t$ $G\setminus C$ $X\setminus C$ 层数少于，并且包含的层数大于个顶点。由于这是最长路径分层的层，它是独立于，因此，在完整，所以包含路径长度的通过该层的顶点，。该路径必须与所有其他切口均不相交。 $k$ $(n/3)/k=k$ $X\setminus C$ $C$ $C$ $P$ $k$

每个非切口都必须包含从到路径的起点的边缘或从路径的终点到的边缘，否则它不会阻塞路径 – –。因此，如果存在，则最多可以有三个不相交的切口。并且如果不存在（也就是说，如果所有切口覆盖入射到或边），则最多可以有四个不相交的切口。无论哪种方式，这都比割少得多。 $C$ $s$ $P$ $P$ $t$ $s$ $P$ $t$ $C$ $C$ $n/3$ $s$ $t$ $k$

— 大卫·埃普斯坦
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@ David：有趣的论点（尽管我还不太了解：为什么C必须具有k路径）。但是，如果所有 st路径都长且长度至少为k ，则该参数失败了（应该）。

— Stasys 2013年

@Stasys：G是锦标赛，证明使用了这一事实，所以imo这就是为什么它会失败的原因。

— domotorp

@domotorp：谢谢，的确，我错过了“完成”这个词。我还没有发现一个缺陷，但这将是一个违反直觉的事实：即使在非循环锦标赛中有很多k路径，我们也无法选择其代表（边缘）的许多不相交的系统。

— Stasys 2013年

@David：实际上，要产生上述后果，我们可以允许切割仅“几乎不相交”，即可以共享入射到s或t的边（这些特殊边只有2n个）。一个真实的目标是表明，如果我们知道每个“纯” k切口（没有这些特殊边缘）必须具有N个边缘，则G必须具有大约kN个边缘。您的（非常好，我现在看到）参数可以修改为这种（“几乎不相交”）情况吗？

— Stasys 2013年

如果允许切口共享入射到s或t的边，那么为什么不使所有切口完全包含入射到s的边集呢？另一方面，我的论据表明（选择和）只能有一个纯割。

G

$G$

k

$k$

— David Eppstein