我应该如何考虑证明网？

斯蒂芬·吉梅内斯（Stephane Gimenez）在回答这个问题时指出了一种用于线性逻辑证明的多项式时间归一化算法。吉拉德（Girard）论文中的证明使用证明网，这是我实际上不太了解的线性逻辑的一个方面。

现在，我曾经尝试过在证明网上阅读论文（例如Pierre-Louis Curien的说明），但我并没有真正理解它们。所以我的问题是：我应该如何考虑它们？我所说的“如何思考它们”不仅是指它们背后的非正式直觉（例如，它们在计算上的行为方式，还是它们与序列的关系），还有关于它们的哪些定理，我应该自己证明才能真正得到。

在回答这个问题时，您可以假设（1）我很好地了解线性逻辑的证明理论（包括诸如消除消除证明的进行方式，以及采用集中形式之类的东西），（2）就相干空间而言，它们的分类语义或通过Day卷积，以及（3）GoI构造的最基本基础。

证明网之所以有趣，主要是因为三个原因：

1）PROOFS的身份。他们为问题“两个证明何时相同”提供了答案？在后续演算中，您可能有许多关于同一命题的不同证明，它们的不同之处仅在于，即使不需要这样做，后续演算也会强制推导规则之间的顺序。当然，可以在随后的演算证明中添加等价关系，但是随后必须证明，切除在等价类上表现得很好，并且还必须转向模写，这比普通重写要技术性强得多。证明网通过提供一种语法，其中每个等效类都折叠在一个对象上，从而解决了处理等效类的问题。无论如何，这种情况还是有点理想化的，因为出于多种原因，证明网经常以某种形式的等效性进行扩展。

2）没有通信性的切割步骤。证明网的割除与后续结石的风味截然不同，因为可交换的割除步骤消失了。原因是在证明网中，推导规则仅通过它们的因果关系联系在一起。可交换情况是由一个规则可以被另一因果无关的规则隐藏的事实产生的。这在因果无关的规则相距甚远的证明网中不会发生。由于大多数消除切割的情况都是可交换的，因此可以大大简化消除切口的过程。这对于研究具有显式替代的λ结石特别有用（因为指数=显式替代）。再次，这种情况是理想的，因为证明网的某些表示需要交换步骤。然而，

3）正确性标准。证明网可以通过后续演算证明的翻译来定义，但是通常除非这样的证明网系统提供了正确性标准，否则该证明网系统是不会被接受的，即，一套图论原理表征了通过平移一个图而获得的图集。后续演算证明。要求正确性标准的原因是，由证明网构造函数集（称为链接）生成的自由图形语言包含“太多图”，就某些图而言，它们不对应于任何证明。正确性标准方法的相关性通常被完全误解了。这很重要，因为它给出了证明的非归纳定义，对推论的性质提供了令人震惊的不同观点。表征是非归纳的这一事实通常会受到批评，而这恰恰是有趣的。当然，它不容易进行形式化，但这又是它的优点：证明网提供的见解是通常对证明和术语的归纳视角所无法获得的。证明网的基本定理是序列定理，它说，满足正确性标准的任何图都可以归纳分解为随后的演算证明（转换回正确的图）。

让我得出结论，说证明网是自然演绎的经典和线性版本并不精确。关键是他们解决了（或试图解决）证明身份的问题，并且自然推论成功地用最小的直觉逻辑解决了同样的问题。但是，对于直觉系统和非线性系统也可以使用证明网。实际上，对于直觉系统而言，它们比经典系统更有效。

$-A$$A$$-A$$A$

吉拉德（Girard）注意到，自然推论正是以这种方式不对称的。这就是为什么它与直觉逻辑相匹配的原因。证明网表示吉拉德（Girard）尝试发明对称形式的自然演绎。

$\land\to$

$\Gamma \vdash A$$\vdash \Gamma^\perp, A$

我在原始答案中错过了一些东西：证明网是一种编写证明的方法，我们知道证明是程序。因此，证明网也是编写程序的一种方式。

就像自然推论一样，编写程序的传统功能符号是不对称的。因此，证明网指向一种以对称形式编写程序的方式。这就是结石进入画面的方式。

较对称的另一种方式是通过逻辑编程，这是我在两篇论文已经探索：一种用于定向逻辑程序类型的基础和逻辑编程的高阶方面

我关注证明网络与后续演算的关系，从而留下更多动态内容。

证明网抽象了后续演算证明：一个证明网代表了一系列后续演算证明。证明网忘记了后续演算证明之间的不重要差异（例如哪个公式在下面分解）。这里重要的定理是“序列化”，它可以将证明网转换为后续的演算证明。

这主要与问题的“它们在计算中的行为”部分有关。从计算的角度很好地理解证明网的一种方法是看一些更具体的解释（例如，过程代数）。

您可能对以下内容感兴趣：

• Abramsky的论文（关于证明表达式的CLL部分）： 线性逻辑的计算解释。本文还提供了一些与证明网相对应的结果，因此可能对问题的第二个方面有所帮助。

• 本田和洛朗（Honda and Laurent）的论文展示了一种称为极化证明网（Polarized Proof Nets）的特殊证明网如何对应于Pi-演算过程，而马丁·伯杰（Martin Berger）在上文中提到：类型化pi-演算与极化证明 之间的确切对应关系-网

• （在这里我毫不客气地宣传自己的工作）草稿： 过程代数形式的证明网

也有一些与证明网和λ演算有关的著作，这些著作也给出了直观的认识。例如，Delia Kesner和StéphaneLengrand的以下内容：

• λ演算的资源算子

您可能还对这种类型的工作（非常面向理论方面）感兴趣，该工作依赖于证明结构来详细证明LL的Strong Normalization属性，作者是Michele Pagani和Lorenzo Tortora de Falco。

• 二阶线性逻辑的强归一化属性 （本文包含重要定理的漂亮映射）。

通常，应该研究哪个定理？好吧，我不是权威人士，但您可能想看一下“序列化”（与证明网和后续证明有关；请参阅有关LL的原始TCS论文）和强大的归一化证明（如预期的那样涉及，但许多重要PN定理与它有关[或用于证明它]。

如果您熟悉聚焦，那么您可能也对Andreoli的这篇论文感兴趣：

• 线性和非交换逻辑中的聚焦和证明网

希望这可以帮助。同样，这些参考文献并非详尽无遗。

最好的Dimitris

最近有一些有趣的工作，用于使证明网和聚焦结石之间的关系更紧密，使用“多焦点”变体（其中可能同时存在多个左洞），并研究“最大聚焦”的证明。如果您选择正确的演算，则最大关注的证明可以对应于MLL证明网，或者按照经典逻辑，可以对应于扩展证明（扩展证明与多焦点顺序证明之间的同构，Kaustuv Chaudhuri，Stefan Hetzl和Dale Miller，2013）

你可以检查我的论文“子结构逻辑的证明网和矩阵调查 ”。

抽象：

本文是对\ emph {矩阵方法}和\ emph {证明网}两种“压缩”证明方案的调查，这些方案应用于从子结构层次一直到子结构层次的各种逻辑。非缔合Lambek系统。提供了一种针对后者的新型证明网。证明网络和矩阵的描述以基于结果的统一表示法给出，因此可以轻松比较各种逻辑的方案的属性。