更统一的概念？

16

我一直不知道的一个差距是在非统一和统一计算复杂度之间，其中电路复杂度代表非统一版本，而图灵机则是事物是统一的。我认为“统一”是一种限制算法类型的方法，例如，与n + 1个变量的问题相比，对于具有n个变量的问题，不允许完全不同的电路。

我的问题是：1）仅仅在电路方面就均匀性进行了描述，2）是否有可能提供更强大的均匀性形式，从而对有效的（或约束的）算法给出更严格的概念。 P是？

后期澄清：我在问题2中的意图是关于一种受限的算法，“实际上”具有与多项式算法相同的功效。

cc.complexity-theory circuit-complexity

— 吉·凯莱（Gil Kalai）
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您能否详细说明“实际上具有相同的力量”？

— MS Dousti

我的意思是，我们实际上遇到的P中的所有算法都在这个（假设的）受限类中。因此，我并不是说已知（或推测）为省略特定多项式类型算法（例如AC_0或NC ^ i）的类不是我所指的。

— 吉·凯莱

2

对于问题2，可通过多项式大小的LOGSPACE均匀电路计算的函数类为P。（如果正确定义均匀性，即使某些复杂性类小于LOGSPACE，您仍将获得P。）因此，施加更严格的均匀性条件不会通常会降低多项式时间算法的功效。

— 彼得·索尔

8

我认为您对第一个问题的回答是否定的：一个电路具有固定数量的输入，因此，IMO，我们只能谈论电路的“系列”，而不仅仅是一个统一的电路。

关于第二个问题，您可能会注意到，存在“统一的电路系列”，其描述是由图灵机生成的。也就是说，令为统一的电路族，令为图灵机。然后，对于每个，，其中表示的描述。 $\{C_n\}$ $M$ $n$ $[C_n] = M(1^n)$ $[C_n]$ $C_n$

P以下有几个复杂度类别，由统一的电路系列定义。例如：

$\mathbf{NC}^i$ 是可由具有多项式门和深度的统一布尔电路确定的决策问题。 $O(\log^i n)$

— 道斯蒂女士
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7

除了上面的Sadeq答案外，当人们查看P中包含的电路类别时，人们可能还希望查看越来越多的限制性均匀性概念。

最简单和最广为人知的概念是P均匀性，这是要求有一个（确定性的）图灵机M可以在时间poly（n）内产生电路（Suresh也谈到了）。更加严格的均匀性版本试图进一步限制M的幂。例如，还存在Logspace均匀性，其中现在需要M在空间O（log（n））中运行。 $C_n$

我知道的最严格的概念是DLOGTIME-uniformity，它用于小型电路类。在此，（现在是随机访问的）机器M仅具有时间O（log n），因此不可能写下整个电路的描述。施加的条件是，给定i和n，M可以在时间O（log n）中记下电路描述的第i位。

有关更多信息，请参见以下文章：David A. Mix Barrington，Neil Immerman，Howard Straubing：关于NC¹中的均匀性。J.计算机 Syst。科学 41（3）：274-306（1990）。

— 斯里坎特
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1

链接到本文：dx.doi.org/10.1016/0022-0000(90)90022

— Suresh Venkat 2010年

如果M要在O（log n）中写入电路描述的第i位，这并不意味着如果电路的大小为O（n），则等效于允许机器生成整个电路在O（n log n）？

— M. Alaggan

1

它似乎并不等效。您所看到的是，以上（Barrington等人）的均匀性概念至少与您提出的均匀性概念一样强。相反，还不清楚。具体来说，我不清楚以下条件是否成立：给定一个由

在时间

可以生成的，大小为

的电路族，给出给定

的TM。和

，生成

的第比特

时刻

。实际上，我认为这不是真的。

O (n)

$O(n)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

i

$i$

n

$n$

i

$i$

C_{n}

$C_n$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Srikanth

我同意，一个反例是一个TM，在给定

和

，它会生成

第

位，除了最后一位需要

。感谢您的提示:)

i

$i$

n

$n$

i

$i$

O (1)

$O(1)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— M. Alaggan

点不是电路的X均匀家庭给出相同的家庭组针对不同X的，但其可通过电路的X均匀家庭计算的函数是不同的X.相同

— 彼得·肖尔

6

“统一”电路和统一计算的一种方法是要求复杂度受限的过程，该过程花费并输出建议电路。在P的情况下，我认为需要可以执行上述操作的多项式时间生成器将正确捕获P。 $n$ $C_n$

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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对于电路中的LOGSPACE发电机也将做工精细捕捉P.

— 彼得·肖尔

5

是否仅根据电路就均匀性进行了描述？

如果用“就电路而言”是指电路不均匀，那么答案是否定的。如果电路的描述不统一，它将允许使用不可计算的函数来定义电路，这些电路又将能够计算不可计算的函数。我们总是可以构建一个大小为的电路来计算，其中是可以通过描述电路的任何方式计算的函数。 $1$ $f(|x|)$ $f$

另一方面，如果允许我们限制为统一电路来定义电路，那么答案显然是肯定的。并且我们可以使用（等于和均匀）来定义均匀性。在概念上非常接近电路。 $FO$ $DLogTime$ $AC^0$ $FO$

在我看来，这里的要点是我们需要某种统一计算模型来定义电路的统一性，如果电路的描述是通过不统一的方式给出的，则电路可能是不统一的。

— 卡韦
source

1

FO不等于DLogTime，而是以

交替交替的日志时间。但是，对于许多自然类的电路，DLogTime一致性和FO一致性是重合的。

O (1)

$O(1)$

— EmilJeřábek在2012年

A l t T i m e (O (1), O (\lg n))

$AltTime(O(1),O(\lg n))$

4

1）是否仅根据电路描述均匀性？

[这是我对您在Dick Lipton博客上问的同一问题的答复的编辑版本。警告：我不是专家。]

是的（我认为），至少有两种不同的类型：

a）电路可以由图灵机在多项式时间内以问题输入大小生成（如其他答复中所述）。（我认为这是概念的标准定义。）

这涵盖了我们可能希望称为统一的任何电路系列，但是作为P时间概念的定义，它只是将电路系列的定义简化为图灵机上的定义，而这可能并不是您想要的。

b）如果存在一维元胞自动机，该元胞自动机将问题输入演化为问题解决方案（对于决策问题，则解决方案将是指定单元中相对于包含输入的单元的单个位，该状态为稳定状态在输入大小的多项式时间内，它对应于一个电路，该电路以简单的方式在2D周期中是周期性的（每个时间单元每个单元一个重复单元），并且其状态仅在相对于二次方大的区域内起作用解决时间。

这是一种非常特殊的统一电路系列，但是足以解决P中的所有问题，因为图灵机可以轻松地编码为一维CA。（这似乎也满足了先前答复中提到的DLOGTIME-uniformity的定义。）

（这类似于图尔机的编码，这是高尔在Lipton博客上的答复中提到的电路-实际上，其中之一可能是相同的。）

将图灵机编码为一维CA的一种方法：在每个单元中，我们将磁带状态表示为一个点，即此时磁带机头所处的状态（如果不在这里，其值无关紧要），还有一点说现在是否在这里。显然，每个这样的状态在时间t仅取决于其在时间t-1的直接邻居状态，这就是我们作为CA所需要的。