不存在“无敌发电机”的世界

无敌的生成器定义如下：

令为NP关系，为接受。非正式地，程序是一个无懈可击发生器如果，在输入，它产生实例证人对，具有，根据分布在其下谁给出任何多项式时间对手未能找到见证，具有显着的概率，为无穷多个长度。 $R$ $M$ $L(R)$ $1^n$ $(x, w) \in R$ $|x| = n$ $x$ $x \in S$ $n$

首先由Abadi 等人定义的无害发电机。在密码学中发现了许多应用。

无害生成器的存在基于的假设，但这可能是不够的（另请参阅相关主题）。 $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$

Abadi 等人的定理3 。上文引用的论文显示，无害生成器存在的任何证据都不能相对化：

定理3.存在一个预言，使得，并且相对于B不存在无害生成器。 $B$ $\mathbf{P}^B \neq \mathbf{NP}^B$

我不理解该定理的一部分证明。令表示不相交的联合运算。令为可满足的量化布尔公式的PSPACE完全语言，令为最大Kolmogorov复杂度的极为稀疏的字符串集。具体来说，包含一个每个长度为字符串，其中序列定义为：，在为三重指数 $\sqcup$ $QBF$ $K$ $K$ $n_i$ $n_1, n_2, \ldots$ $n_1 = 2$ $n_i$ ，因为；如果和，则具有Kolmogorov复杂度。 $n_{i-1}$ $i > 1$ $x \in K$ $|x| = n$ $x$ $n$

相对于纸张状态，它认为。你可以解释吗？（另外，请说明是否是递归的。） $B = QBF \sqcup K$ $\mathbf{P} \neq \mathbf{NP}$ $B$

— 道斯蒂女士
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如果他们只是在谈论（非资源约束）柯尔莫哥洛夫复杂性，那么将是不可计算（否则，您可以用一台机器计算给琴弦的简短描述，因为所有你需要做的就是描述机和长度的，我们有尚未），因此，将不可计算为好。 $K$ $K$ $x \in K$ $n$ $x$ $K(x) = n$ $K(n) \leq \log n$ $B$

但是，论文Abadi等。参考（Hartmanis。广义Kolmogorov复杂度和可行计算的结构。FOCS1983。）使用了资源受限版本的Kolmogorov复杂度。让成为高效的通用图灵机。将为字符串的集合，以使字符串的长度为，使得 $U$ $K_U[f(n), g(n)]$ $x$ $d$ $|d| \leq f(|x|)$ ，而的计算最多需要时间。在p的第二列的顶部。在该论文的444中，Hartmanis描述了如何使用该概念来构造相对于的（可计算的）预言。 $x = U(d)$ $U(d)$ $g(|x|)$ $P \neq NP$

这是哈特曼尼斯的想法，适用于阿巴迪等人。结果。令和（我相信这是您描述的函数）。通过标准对角化（例如，如在时间谱系理论），构造一个帐簿组使得和 $tow_3(1)=2$ $tow_3(n+1)=2^{2^{2^{n}}}$ $C$ $C \subseteq \{1^{tow_3(n)} : n \geq 1\}$ 。现在放置长度的第一串从到当且仅当。以来 $C \in TIME[n^{\log n}] - P$ $tow_3(n)$ $K[\log n, n^{\log n}] - K[\log n, n^{\log \log n}]$ $K$ $1^{tow_3(n)} \in C$ ，我们有。 $C = \{1^n : (\exists x)[|x|=n \text{ and } x \in K]\}$ $C \in NP^{K}$

$C \notin P^{K}$ $P^K \neq NP^K$ $C \in P^{K}$ $M$ $C = L(M^K)$ $C \in P$ $C$ $x = 1^{tow_3(n_0)}$

$K$ $|x|$ $\log \log \log |x|$ $U(d)$ $d$ $|x|$
$M(x)$ $M(x)$ $|x|$

$y \in K$ $M^K$ $y$ $y$ $y \in K[\log n, n^k]$ $n^k$ $M$ $y$ $K[\log n, n^{\log \log n}]$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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非常详细，写得很好。谢谢约书亚！

— MS Dousti