每个最小分隔符都是一个独立集合的图

背景： 令为无向图G = （V ，E ）的两个顶点。一个顶点组小号⊆ V是一个ü ，v -separator如果ù和v 属于不同的连接的部件ģ - 小号。如果没有u的适当子集，则v分隔符S是u ，v分隔符，则S是最小u ，$u, v$$G=(V,E)$$S\subseteq V$$u,v$$u$$v$$G-S$$u,v$$S$$u,v$$S$$u,v$-分隔器。一个顶点组是一个（最小的）分离器，如果存在顶点ü ，v使得小号是一个（最小的） Ü ，v -separator。$S\subseteq V$$u, v$$S$$u,v$

G. Dirac的一个众所周知的定理指出，当且仅当其最小分隔符中的每一个都是集团时，图才具有至少四个长度的诱导周期（称为三角图或弦图）。众所周知，三角图可以在多项式时间内识别。

我的问题：每个最小分隔符都是一个独立集合的图是什么？这些图被研究了吗？这些图的识别复杂度是多少？此类图的示例包括树和循环。

您的图表已通过http://arxiv.org/pdf/1103.2913.pdf进行了表征。

编辑：在以上论文中，证明了每个最小分隔符都是一个独立集合的图恰好是那些不包含具有一个和弦的循环的图。

Trotignon和Vuskovic已深入研究了不包含具有一个正弦的任何周期的图，一个不具有唯一弦的无周期图及其结果的结构定理，J。图论63（2010）31-67 DOI。作为本文的结果，这些图可以在多项式时间内识别。（但是，本文没有指出与独立最小分隔符的连接！）

编辑（2013年9月17日）：最近（请参见此处），Terry Mckee描述了所有图，其中每个最小顶点分隔符都是一个集团或一个独立的集合。事实证明，这些是弦图和每个最小顶点分隔符都是独立集合的图的“边和”。

看来，图的最早特征是每个最小分隔符都是一个独立的集合，出现在TA McKee的“独立分隔符图”，Utilitas Mathematica 73（2007）217--224中。正是这些图中没有一个循环具有唯一的和弦（或者等效地，在每个循环中每个和弦都有一个交叉的和弦）。

图上有两篇新论文，没有循环，只有一个和弦。两者都主要处理为这些图形着色：http : //arxiv.org/abs/1309.2749和http://arxiv.org/abs/1311.1928。

$O(m^2n)$$O(mn)$