命题解决方案是一个完整的证明系统吗？

这个问题是关于命题逻辑的，所有出现的“解决”都应被理解为“命题解决”。

这个问题是非常基本的，但是已经困扰了我一段时间。我看到人们断言命题解决方案是完整的，但我也看到人们断言解决方案是不完整的。我了解解决方案不完整的含义。我也明白为什么人们可能会声称它是完整的，但是“完整”一词不同于描述自然演绎或后续演算时使用“完整”的方式。甚至限定词“反驳完成”也无济于事，因为公式必须在CNF中，并且在证明系统内不考虑通过Tseitin变换将公式变换为等效CNF公式或可满足的CNF公式。

健全性和完整性

让我们假设古典命题逻辑的设定是在结构的某些宇宙与一组公式之间的关系$\models$和结构中的经典的Tarskian真理概念之间的关系。我们写$\models \varphi$，如果$\varphi$在考虑所有结构都是如此。我还将假设一个系统$\vdash$，用于从公式导出公式。

该系统$\vdash$是声音相对于$\models$如果每当我们有$\vdash \varphi$，我们也有$\models \varphi$。该系统$\vdash$是完全相对于$\models$如果每当我们有$\models \varphi$，我们也有$\vdash \varphi$。

决议规则

文字是原子命题或其否定词。子句是文字的析取。CNF中的公式是子句的结合。决议规则断言

分辨率规则断言，如果该条的结合$C \lor p$与子句$\neg p \lor D$是满足的，该条$C \lor D$也必须是可满足的。

我不确定是否可以单独将解析规则理解为证明系统，因为没有公式的引入规则。我认为我们至少需要一个允许引入子句的假设规则。

解析不完整

众所周知，分辨率是一种隔音系统。也就是说，如果我们可以得到一个条款$C$从公式$F$使用的分辨率，然后。决议还驳斥完整的意思，如果我们有 ⊨ $\models F \implies C$然后我们可以使用分辨率从 F导出 ⊥。$\models F \implies \bot$$\bot$$F$

考虑配方

和 ψ ：= p ∨ q。$\varphi := p \land q$$\psi := p \lor q$

在根岑系统LK或使用自然推导，我可以得出蕴涵完全在证明系统内。我无法使用解析来得出这种含意，因为如果我以 φ开头，则没有解析子。$\varphi \implies \psi$$\varphi$

我知道如何使用解析度证明这种含意的正确性：

1. 考虑公式$\neg (\varphi \implies \psi)$
2. 使用标准分布规则或使用Tseitin转换将以上公式转换为CNF
3. 派生使用分辨率变换式。$\bot$

这种方法令我不满意，因为它要求我执行分辨率验证系统之外的步骤（1）和（2）。因此，似乎很清楚地感觉到解决方案没有像我们所说的自然演绎或随后的结石完成那样的方式完成。

问题

鉴于以上所述，我的问题是：

1. 讨论分辨率时考虑使用哪种证明系统？只是解决规则吗？其他规则是什么？
2. 在我看来，很清楚，从自然推论和随后的结石是完整的意义上说，解决是不完整的。文献是否断言解决是完全滥用的术语，仅仅是因为解决的完成意义比不解决的意义更有趣？
3. 是否已在分辨率和其他方面应用了完整性概念上的这种差异，以及如何调和它们，文献中是否进行了更深入的讨论？
4. 我也意识到，可以根据切割规则在后续结石内制定分辨率。分辨率的“正确”证明理论观点只是它是随后的演算的一部分，足以检查CNF中公式的可满足性吗？

讨论分辨率时考虑使用哪种证明系统？只是解决规则吗？其他规则是什么？

我将在“子句”的上下文中讨论解决方案，“子句”是仅由文字组成的序列。一个经典子句看起来像是

LK限于子句只有四个推理规则：

• 身份
• 切（命题分辨率）
• 收缩（命题分解）
• 减弱

显然，这四个规则对于推导从句是完整的，即

命题1对于任何条款和条款的一套小号，我们有小号 ⊨ Ç当且仅当小号 ⊢ Ç。$C$${\cal S}$${\cal S} \models C$${\cal S} \vdash C$

驳证明转换的问题到小号 ∪ Ñ （Ç ）⊢ ⊥，其中Ñ （C ^ ）= { { ˉ 甲 } | 甲∈ Ç }是子句表示的否定的收集${\cal S} \vdash C$${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$$N(C) = \{\{\bar{A}\} \mid A \in C\}$$C$。

清楚的是，当且仅当小号 ∪ Ñ （Ç ）⊢ ⊥。我们的四规则系统仍然足以证明转换后的问题，但是我们注意到我们不再需要身份验证和弱化。其余两个规则称为“分辨率证明程序”。${\cal S} \vdash C$${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

命题2对于任何条款和条款的集合小号，我们有小号 ⊨ Ç当且仅当小号 ∪ Ñ （Ç ）⊢ ⊥仅使用切割和收缩。$C$${\cal S}$${\cal S} \models C$${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

将问题转换为反驳证明有两点：

• 通过让驱动，我们有更好的机会来指导证明搜索。$N(C)$
• 我们有完整谓词逻辑的句柄，可以将其公式转换为CNF直至可满足。

分辨率的“正确”证明理论观点只是它是随后的演算的一部分，足以检查CNF中公式的可满足性吗？

确实！

1）

唯一的非结构性规则是分辨率（在原子上）。

但是，规则本身并不能提供证明系统。请参阅第3部分。

2）

这样考虑：如果我们使用其他一些连接词代替，则根岑的演算PK是否完整？一个逻辑连接词对于诸如完整性之类的逻辑结果很重要。关于该语言中的公式，证明系统可以是完整的。PK不能用其他语言谈论公式。您的解决方案问题与此类似。是的，如果我们谈论的是带有{ ∧ ，∨ ，¬ } 连词的一般公式的完备性，则解析不是完整的，但对于非其语言的公式，后续的演算和自然推论也不是完全。$\{\land, \lor, \lnot\}$$\{\land, \lor, \lnot\}$

只要存在从一种语言到另一种语言的“不错”的翻译，我们就可以谈论完整性。本质上重要的是，我们可以高效地将公式从一个公式转换为另一个公式，反之亦然。您可以查看罗伯特·雷克豪（Robert Reckhow）的论文，他在其中论述了连接词的问题，并表明对于Frege系统，证明的长度变化不超过多项式，因此从某种意义上讲，选择任何您喜欢的适当连接词都是很好的。

解决情况类似。通过从SAT减少到3SAT，我们可以将注意力集中在CNF上，并且可以非常高效地完成转换。

请注意，在这里并不是仅解决分辨率，此问题也适用于其他证明系统。以边界深度弗雷格（Bounded-Depth Frege）为例，其中公式的深度必须以常数为边界，因此根据定义，它不能证明公式的任何无限深度的族。

3）

$P$$\vdash_P$

• $\vdash_P$$\varphi$$\pi$$\pi$$P$$\varphi$

• $P$$\varphi$$\varphi$

• $\varphi$$P$$\varphi$

定义非常笼统，根本不涉及证明的结构。满足这些条件的任何事物都是命题证明系统。

在这些项目中，我们应考虑哪类公式？已经考虑过不同种类的公式，而我所知道的问题的第一个处理方法是罗伯特·雷克豪（Robert Reckhow）的论文，他的研究表明，只要与弗雷格系统有关，一个人使用哪组足够的连接词就无关紧要了。是等效的。

关于分辨率，如果一个人真的想对所有公式都具有完整性，而不仅仅是CNF，那么可以将固定的多项式时间转换从任意公式转换为CNF到证明系统中，因为转换是多项式时间可计算的。

$\pi$$\bot$$\lnot \varphi$到条款。这就是命题证明系统，人们称为决议命题证明系统。

4）

分辨率很好，但是也可以按照您提到的方式来考虑，即当剪切公式为正原子时，我们可以将其视为剪切规则，方法是将负原子移动到前项并保持成功者中的积极者：

请注意，是什么定义了命题证明系统在Frege子系统（甚至在更强大的类似命题证明系统的子系统（如定量命题逻辑）的子系统中）的能力 $G$）主要是一个可以剪切的公式类别。我认为我们可以采用Gentzen的PK并仅将切入规则限制为适用于此类切入公式，这样得出的证明系统在证明CNF方面不会比解析强大。CNF的任何证明（以带正原子的顺序形式书写）只能具有相似的顺序，即，更复杂的公式对CNF的证明毫无用处（请注意，cut是唯一可以从顺序中删除公式的规则）。

ps：我的回答主要是从证明复杂性理论的角度。您可能需要检查其他观点，例如结构证明理论。

参考文献：

• Robert A. Reckhow，“ 论命题演算中的证明长度 ”，1976年。