我们如何将“ ”表示为一阶公式？[关闭]

1. 我们如何将“ ”表示为一阶公式？$P=PSPACE$
2. 算术层次结构的哪个级别包含此公式（以及包含该公式的层次结构的当前最低已知级别是什么？）？

有关参考，请参阅Lipton的此博客文章。

首先，我想谈谈对这个问题的评论，有人建议说“假”表示 $P = PSPACE$因为该陈述是错误的。尽管这可能是个很好的笑话，但这样思考实际上非常有害。当我们问如何在某个形式系统中表达某个句子时，我们并不是在谈论真理价值。如果是的话，那么当有人问到“我如何写下有无限多个素数的事实吗？” 我们可以回答“ 3 + 3 = 6”，但这显然不会。出于同样的原因，“ false”不是“我如何写下来”的有效答案$P = PSPACE$“。我认为弗雷格和罗素都在努力地教我们这一课。

让我展示如何表达 $PSPACE \subseteq P$，另一个方向是相似的，然后您可以将它们组合在一起以获得 $PSPACE = P$。在任何情况下，出于您的目的，仅表达$PSPACE \subseteq P$，具体取决于您在做什么。

使用类似于构建Kleene谓词的技术$T$，我们可以构造一个有界的量词公式 $accept_{space}(k, m, n)$ （因此位于 $\Sigma^0_0 = \Pi^0_0$）说“当我们运行由 $k$ 并将其空间使用绑定到 $|n|^m$，机器接受输入 $n$。“ 这里 $|n|$ 是的长度 $n$。看到这样的公式存在的非正式方式是：$k$， $m$和 $n$ 我们可以计算原始递归范围，以了解我们将需要多少时间和多少空间（即，最多 $|n|^m$ 空间，最多 $2^{|n|^m}$时间）。然后，我们简单地搜索所有在计算范围内的可能执行轨迹-这样的搜索效率很低，但是它是原始递归的，因此我们可以将其表示为有界公式。

有一个类似的公式 $accept_{time}(k, m, n)$ 运行时间受以下因素限制 $|n|^m$。

现在考虑公式：

$$\forall k, m . \exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k,m,n) \Leftrightarrow accept_{time}(k',m', n).$$ 它说每台机器 $k$ 最多占用空间 $|n|^m$ 有机器 $k'$ 最多时间使用 $|n|^{m'}$ 这样两台机器接受完全相同的 $n$的。换句话说，公式说$PSPACE \subseteq P$。这个公式是$\Pi^0_3$。

如果我们愿意改为表达“$TQBF$是在polytime中”，对于大多数应用程序来说应该已经足够了，因为TQBF是PSPACE完整的，所以在polytime中等于$PSPACE \subseteq P$。让$k_0$ 是识别空间中TQBF的机器（的代码） $|n|^{m_0}$。然后 ”$TQBF \in P$可以表示为

$$\exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k_0, m_0, n) \Leftrightarrow accept_{time}(k', m', n).$$ 这个公式只是 $\Sigma^0_2$。如果我是一个复杂性理论家，我会知道是否有可能做得更好（但我对此表示怀疑）。

安德烈（Andrej）已经解释说 $P=\mathit{PSPACE}$ 可以写成 $\Sigma^0_2$-句子。我要说的是，这种分类是最佳的，即如果该语句等于一个$\Pi^0_2$-句子，那么这个事实就不会相对化。更确切地说，这套神谕$A$ 这样 $P^A=\mathit{PSPACE}^A$ 由一个定义 $\Sigma^0_2$带有自由二阶变量的公式 $A$, but it is not definable by any $\Pi^0_2$-formula. The argument is outlined (for $P=\mathit{NP}$, but it works just the same for $\mathit{PSPACE}$) in the comments at /mathpro/57348. (In fact, one can show by an elaboration of the idea that the set is $\Sigma^0_2$-complete in the appropriate sense.)

EDIT: The topological proof given in the linked comment is short, but it may appear tricky. Here is a direct forcing argument.

$P^A\ne\mathit{PSPACE}^A$ can be written as a $\Pi^0_2$-formula of the form $\phi(A)=\forall x\,\exists y\,\theta(A,x,y)$, where $\theta$ is $\Delta^0_0$. Assume for contradiction that $P^A=\mathit{PSPACE}^A$ is also equivalent to a $\Pi^0_2$-formula $\psi(A)=\forall x\,\exists z\,\eta(A,x,z)$. Fix oracles $B$, $C$ such that $P^B\ne\mathit{PSPACE}^B$ and $P^C=\mathit{PSPACE}^C$.

Since $\phi(B)$, there exists $y_0$ such that $\theta(B,0,y_0)$. However, $\theta$ is a bounded formula, hence the evaluation of the truth value of $\theta(B,0,y_0)$ only uses a finite part of the oracle. Thus, there exists a finite part $b_0$ of $B$ such that $\theta(A,0,y_0)$ for every oracle $A$ extending $b_0$.

Let $C[b_0]$ denote the oracle which extends $b_0$, and agrees with $C$ where $b_0$ is undefined. Since $P^A$ and $\mathit{PSPACE}^A$ are unaffected by a finite change in the oracle, we have $\psi(C[b_0])$. By the same argument as above, there exists $z_0$ and a finite part $c_0$ of $C[b_0]$ such that $\eta(A,0,z_0)$ for every $A$ extending $c_0$. We may assume that $c_0$ extends $b_0$.

Continuing in the same fashion, we construct infinite sequences of numbers $y_0,y_1,y_2,\dots$, $z_0,z_1,z_2,\dots$, and finite partial oracles $b_0\subseteq c_0\subseteq b_1\subseteq c_1\subseteq b_2\subseteq\cdots$ such that

1. $\theta(A,n,y_n)$ for every oracle $A$ extending $b_n$,

2. $\eta(A,n,z_n)$ for every oracle $A$ extending $c_n$.

Now, let $A$ be an oracle which extends all $b_n$ and $c_n$. Then 1 and 2 imply that $\phi(A)$ and $\psi(A)$ simultaneously hold, which contradicts the assumption that they are complements of each other.