多对数深度电路的电路下限状态

$AC^{0}$ $p$ $AC^{0}[q]$ $AC^0[q]$ $q$ $\gcd(p,q)=1$ 。但是，通过使用经典方法（如限制输入并在有限域上逼近多项式）来获得对数深度电路的具体下限结果似乎是遥不可及的。

我知道STOC'96论文引出了几何复杂性理论，并且表明使用没有逐位运算的有效的并行计算不能计算最小成本流问题。

这意味着在某些有限的设置中，我们可以证明某些问题的下界。 $NC$ $P$

首先，还有其他方法或技术可能是证明多对数深度电路下限的合理方法吗？

其次，以下陈述对理论界有多大用处？

计算布尔函数的电路的大小至少为，其中是取决于其硬度的一些数学量目标函数。的值例如可以是组合量（如差异），线性代数（如字段上某种类型的矩阵的秩）或某些全新的量，以前从未在复杂度理论中使用过。 $NC$ $f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ $l$ $l$ $f$ $l$

— n
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请注意以下几点：即使远未达到对数深度。对于NC ^ 1-电路，我们仍然没有超线性（！）下界。在这里，矩阵刚度是理想的“组合量”，但是我们对此量缺乏足够强大的下界。更令人沮丧的是，即使只允许使用fanin-2 XOR作为门，NC ^ 1电路在GF（2）上计算线性变换f（x）= Ax的超线性下界也是未知的。（然后，几乎所有矩阵A都需要大约n ^ 2 / \ log n个门，任意深度。）

— Stasys 2013年

@Stasys，我想您的评论可以作为答案。

— 卡夫

Answers:

在证明多对数电路深度下限的技术上，所有当前方法都在受限设置下工作。就像在您提到的导致GCT的工作中一样，下限适用于没有位操作的受限PRAM模型。

在另一个限制下，即对单调布尔函数的单调限制，在我与Aaron Potechin（ECCC和STOC）的联合工作中，有一种傅里叶分析（或枚举组合）方法来证明单调电路深度下限。这是对Ran Raz和Pierre McKenzie 的早期结果的改进，后者扩展了Mauricio Karchmer和Avi Wigderson关于电路深度的通信游戏框架。

Scott Aaronson和Avi Wigderson 提出了另一项研究扩展Karchmer-Wigderson游戏的研究作为参考传播游戏，Gillat Kol和Ran Raz建议将其扩展到竞争证明人协议，作为将NC与P分开的一种方法（ECCC和ITCS）。

除了学习单调的语法限制，还有一个办法，以研究有关卵石游戏语义限制（称为节俭分支程序）由斯蒂芬·库克，皮埃尔·麦肯齐达斯汀WEHR，马克·布雷弗曼和拉胡尔Santhanam。在达斯汀·韦尔（Dustin Wehr）的节俭限制下，有一个很强的下界，与P-完全问题的最著名上限匹配。这些结果涉及确定性空间复杂性，这下界平行时间或通过公知的模拟结果的电路深度（例如因为）。 $\text{AlternatingTime}[t] \subseteq \text{DeterministicSpace}[t]$

关于与电路的大小和深度有关的问题，可能涉及以下方法。理查德·利普顿（Richard Lipton）和瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）表明，给定足够深的深度下界（即），较弱的大小下界（即）可以将NC与P分开。遵循基于块尊重模拟的大小深度权衡论证。规模交易深度的较早结果是基于Allred和Koucký基于自我简化的思想，但它研究了诸如NC 和NL之类的较小复杂度类别。 $n^{1-O(1)}$ $n^{1+\Omega(1)}$ $^1$

注意，在上述方法中，一些方法同时考虑电路的尺寸和深度，而其他方法仅考虑电路深度。尤其是半algebro几何的方法Mulmuley，通过研究竞争，证明协议的做法KOL-拉兹和大小，深度折衷的办法Allender-Koucký和立顿-威廉姆斯都关心的大小和深度电路。在结果浐Potechin，拉兹-McKenzie的，库克-McKenzie的-WEHR-布雷弗曼-Santhanam，和WEHR无论大小给予电路深入降低下限制设置范围。此外，Aaronson–Wigderson仅关注电路深度。

仍然与我们的知识相一致，无论大小如何，都无法通过小深度的电路（即）来计算某些P完全问题。如果尺寸对于深度有限的扇入式电路无关紧要，那么将注意力更多地放在电路深度上，而不是专注于深度小的电路上，也许是有意义的。 $\log^{O(1)}n$

— 速安
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谢谢！据您所知，并不是每个人都发现第二季度的陈述，是吗？也就是说，与通信复杂度的下界方法不同，我们没有任何数学量可以给出NC电路的下界？

— 2013年

@shen，我在末尾添加了两段。希望对您有所帮助。

— 2013年

在Lipton–Williams论文中使用的弱尺寸下限可以放大的想法实际上是由于Allender和Koucký（eccc.hpi-web.de/report/2008/038）。

— EmilJeřábek在2013年

@EmilJeřábek谢谢！我加了那张纸。希望答案现在看起来更好。

— siuman

根据Kaveh的建议，我将我的评论作为（扩展的）答案。

关于 $Q1$ ，请注意以下几点：即使距离甚远，即使是对数深度，也不是在讲多对数。因此，在非单调的世界中，真正的问题远没有那么雄心勃勃：

超越对数深度问题：证明电路的超线性（！）下界。 $NC^1$

即使对于线性电路，问题仍然存在（目前已超过30年）。这些是基于 fanin- 电路，并且它们在计算线性变换。简单的计数表明，几乎所有矩阵在任何深度都需要门。 $NC^1$ $2$ $\{\oplus,1\}$ $f(x)=Ax$ $GF(2)$ $A$ $\Omega(n^2/\log n)$

关于 $Q2$ ：是的，我们有一些代数/组合测度，下界将超过对数深度电路。不幸的是，到目前为止，我们无法证明这些措施的范围足够大。例如，对于线性电路，这种度量是矩阵的刚度。这是为了将等级降低到需要更改的条目的最小数目。这是很容易显示其 $NC^1$ $R_A(r)$ $A$ $A$ $r$ 对于每个布尔矩阵，Valiant（1977）表明，该边界对于几乎所有矩阵都是严格的。为了击败对数深度电路，足以表现出布尔矩阵的序列，使得 $R_A(r)\leq (n-r)^2$ $n\times n$ $A$ $n\times n$ $A$

为常数。 $R_A(\epsilon n)\geq n^{1+\delta}$ $\epsilon,\delta>0$

迄今为止我们所知道的最好的是矩阵与。对于Sylvester矩阵（即内积矩阵），很容易显示的下限。 $A$ $R_A(r)\geq (n^2/r)\log(n/r)$ $\Omega(n^2/r)$

我们为一般（非线性）组合措施 -circuits，以及对于二分图表，让是最小的数，使得可以写成的交点二分图，每个图最多是完整的二部图的并集。要击败一般的对数深度电路，只要找到具有 $NC^1$ $n\times n$ $G$ $t(G)$ $t$ $G$ $t$ $t$

为常数 $t(G_n)\geq n^{\epsilon}$ $\epsilon >0$

（例如，请参见此处有关如何发生的信息）。同样，几乎所有的图都。然而，最好的遗体的下界为Sylvester矩阵，由于Lokam。 $t(G)\geq n^{1/2}$ $t(G)\geq \log^3 n$

最后，让我提到，我们甚至有一个“简单的”组合度量（数量），一个弱（线性）下界，对于非单调电路，它甚至会产生指数（！）下界。对于二分图图，令为从恒星开始产生所需的fanin- 联合（）和交点（）运算的最小数目。星形是将一个顶点与所有顶点连接在另一侧的一组边。几乎所有图形的 $n\times n$ $G$ $c(G)$ $2$ $\cup$ $\cap$ $G$ $c(G)=\Omega(n^2/\log n)$

$c(G_n)\geq (4+\epsilon)n$ $\epsilon>0$

$\Omega(2^{N/2})$ $f_G$ $N$ $G$ $n\times m$ $m=o(n)$ $c(G_n)\geq (2+\epsilon)n$ is enough (again, see, e.g. here on how this happens). Lower bounds $c(G)\geq (2-\epsilon)n$ can be shown for relatively simple graphs. The problem, however, is to do this with " $-\epsilon$ " replaced by " $+\epsilon$ ". More combinatorial measures lower-bounding circuit complexity (including the $ACC$ -circuits) can be found in the book.

P.S. So, are we by a constant factor of $2+\epsilon$ from showing $P\neq NP$ ? Of course - not. I mentioned this latter measure $c(G)$ only to show that one should treat "amplification" (or "magnification") of lower bounds with a healthy portion of skepticism: even though the bounds we need look "innocently", are much smaller (linear) than almost all graphs require (quadratic), the inherent difficulty of proving a (weak) lower bound may be even bigger. Of course, having found a combinatorial measure, we can say something about what properties of functions make them computationally hard. This may be useful for proving an indirect lower bound: some complexity class contains a function requiring large circuits or formulas. But the ultimate goal is to come up with an explicit hard function, whose definition does not have an "algorithmic smell", does not have any hidden complexity aspects.

— Stasys
source

I find this very interesting: 1. superlinear lower-bound for linear functions over

G F (2)

$GF(2)$ seems a very concrete lower-bound question. 2. lower-bounds on mathematical concepts not directly related to computation are related to circuit lower-bound.

— Kaveh

matrix rigidity is an apparently unifying concept however its structure seems in strong contrast to almost all lower bounds expressed as

Ω (f (n))

$\Omega(f(n))$ , whereas it is in terms instead of

Ω (f (n, r))

$\Omega(f(n,r))$ (or say

Ω (f (\sqrt{n}, r))

$\Omega(f({\sqrt n},r))$ where

n

$n$ is input size because its for square matrices). has anyone seen other ways to express matrix rigidity eg in terms of

Ω (f (n))

$\Omega(f(n))$ ?

— vzn

@vzn: The strongest lower bound on

R_{A} (r)

$R_A(r)$ independent or

r

$r$ is

0

$0$ , because

R_{A} (n) = 0

$R_A(n)=0$ . I am afraid, you misinterpret what rigidity actually means.

— Stasys