产生有趣的组合优化问题

我正在教授一门有关元启发式的课程，并且需要为该术语项目生成有趣的经典组合问题实例。让我们专注于TSP。我们正在处理尺寸图$200$和更大。我当然尝试生成具有成本矩阵的图形，该矩阵的值取自随机$U(0,1)$，并发现（如预期的那样）路径成本的直方图（通过采样大量随机路径得出）的正态分布非常窄（$\mu$ 是 $~100$ 但 $\sigma$ 在附近 $4$）。在我看来，这意味着问题很容易，因为大多数随机路径都将低于平均值，而最小成本路径非常接近随机路径。

因此，我尝试了以下方法： $U(0,1)$-矩阵，在图表上随机走很长一段距离，然后随机（Bernoulli与 $p=0.5$）将边缘的值加倍或减半。这往往会降低所有值，最终达到零，但是如果我采取正确的步骤数，则可以得到$\mu$ 周围 $2$ 和 $\sigma$ 周围 $1$。

我的问题是，首先，这是否是一个有趣问题的良好定义？理想情况下，我需要一个高度多模态的实例（对于最常见的邻域函数），并且在极小值附近只有很少的路径，因此大多数随机解都离最优值很远。第二个问题是，给出此描述后，如何生成具有此类特征的实例？

生成较难实例的一种通用方法如下：

• 从一个随机的问题实例开始。
• 嵌入“隐藏后门”：随机选择一个好的解决方案（可能比现有的任何解决方案都要好得多）并修改问题实例以将其强制嵌入到问题实例中。

例如，对于TSP，您可以执行以下操作。通过随机选择生成随机问题实例$U(0,1)$成本矩阵。然后，调整问题实例以在其中隐藏一个更好的解决方案：随机选择一个巡回点，该巡回点恰好访问每个顶点一次，并减少该巡回点的边权重（例如，从$U(0,c)$ 哪里 $c<1$; 减轻现有重量；或以一定的固定概率修改现有边缘）。此调整过程可确保最佳解决方案很有可能是您选择的特殊游览。如果幸运的话，并且选择了合理的嵌入方式，那么将其隐藏在特殊解决方案的位置也不容易。

这种方法是从密码学的一般思想派生而来的，我们要在其中创建陷阱门单向问题：如果不了解秘密陷阱门很难解决问题，但是有了秘密陷阱门的知识，问题就变得很容易。已经进行了许多尝试，将秘密活板门嵌入到各种困难的问题中（尽管即使在添加活板门之后仍能保持问题的强度），但成功的程度不一。但是对于您的目的，这种通用方法似乎可行。

由此产生的问题实例可能很难，但从任何实际角度来看，它们是否会很有趣？我不知道。甘拜下风。在我看来，它们看起来很虚假，但是我知道什么？

如果您的主要目标是选择与实际相关且可以代表TSP实际应用的问题实例，那么我的建议是采用完全不同的方法。取而代之的是，首先调查TSP的实际应用程序，然后查找那些问题的代表性实例，然后将它们转换为相应的TSP问题实例-因此，您正在处理源自真实问题的问题实例。

一种通常可以使您对解决方案的性质进行高度控制的方法是将一个NP完整问题转换为另一个NP完整问题。现在，您可以以统计方式在问题中定义“有趣”，但是另一种巧妙的方法是使用该领域的经典问题。我最喜欢的是保理/ SAT。找到具有很多因子的“平滑”数或只有两个“因子”（一个和素数）的素数是很容易的。创建SAT实例以解决因式分解，而解决方案就是因素（实际上是因素的排列，但也不难提前计算）。

在这种方法下，自然有一个“有趣的”定义，即很难在P时间内解决的硬实例。并且保证该方法会产生用于分解非光滑数的硬实例，否则它将解决复杂性理论中最重要的开放问题，即分解的硬度。

然后，可能会转换成您的问题，在这种情况下为TSP。要填写此答案，最好将SAT直接转换为TSP，认为它们在那里，但不熟悉它们。但是，以下是此问题中有关SAT分解的一些参考：将整数分解问题简化为NP完全问题

如果您不喜欢分解，则出于各种原因，最好还是先在SAT中创建实例。您可以从随机SAT实例开始，将其调整为在“难易”过渡点等处居中。或者您可以使用社区生成的DIMACS硬实例进行工作。或在SAT中创建其他逻辑“程序”。