Pi型的分裂和极性

在阿格达（Agda）邮件列表上的最新帖子中，出现了法律的问题，彼得汉考克（Peter Hancock）在其中发人深省。$\eta$

我的理解是法则带有否定类型，即。引入规则是可逆的连接词。要禁用功能，Hank建议使用定制消除器funsplit，而不是通常的应用程序规则。我想了解汉克关于两极的说法。$\eta$$\eta$

例如，有两个演示类型。有传统的马丁- LOF 分裂消除，以积极的风格：$\Sigma$

$$\begin{array}{l} \Gamma \vdash f : (a : A)(b : B\: a) \to C (a , b) \\ \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \mathrm{split}\: f\: p : C\: p \end{array}$$

还有否定版本：

$$\begin{array}{l} \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \pi_0\: p : A \end{array} \qquad \begin{array}{l} \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \pi_1\: p : B[\pi_0\: p / a] \end{array}$$

后一种表示形式很容易获得对，即。对任意对（其中==表示定义相等）。就可证明性而言，这种区别并不重要：从直觉上讲，您可以拆分或以其他方式实现投影。$\eta$$(\pi_0 p , \pi_1 p) == p$$p$

现在，类型通常是负面的（我相信，毫无争议）：$\Pi$

$$\begin{array}{l} \Gamma \vdash f : \Pi a : A. B \\ \Gamma \vdash s : A \\ \hline \\ \Gamma \vdash f s : B[s / a] \end{array}$$

这为函数提供：。$\eta$$\lambda x. f x == f$

但是，汉克在那封邮件中回忆起了分叉消除符（《机器语言类型理论编程》，[http://www.cse.chalmers.se/research/group/logic/book/]，第56页）。在逻辑框架中通过以下方式对其进行描述：

$$\begin{array}{l} f \in \Pi(A, B) \\ C(v)\: Set [v \in \Pi(A, B)] \\ d(y) \in C(\lambda(y)) [y(x) \in B(x) [x \in A]] \\ \hline \\ \mathrm{funsplit}(f, d) \in C(f) \end{array}$$

有趣的是，Nordstrom等。通过说“ [此]非规范形式基于结构归纳原理”来激发这一定义。这种说法带有强烈的积极意义：函数将由其构造函数 '定义' 。$\lambda$

但是，我不能完全以自然推论（或什至更好的是顺序演算）来确定该规则的令人满意的表述。在这里，逻辑框架的（滥用）引入至关重要。$y$

那么，funsplit是类型的肯定表示吗？在（非相关的）后续演算中，我们也有类似的东西吗？它会是什么样子？$\Pi$

对于该领域的证明理论家来说，这有多普遍/好奇？

在大多数类型理论中，使用表示功能消除绝对不是常见的情况。但是，我相信这种形式确实是消除功能类型的“积极”表现。这里的问题是您需要某种形式的高阶模式匹配，例如，参见Dale Miller。$\mathrm{funsplit}$

请允许我以一种更清晰的方式重新制定您的规则：

$$\begin{array}{l} \Gamma\vdash f : \Pi x:A. B \\ \Gamma, z:\Pi x:A. B\vdash C : Set\\ \Gamma, [x:A]F(x):B\vdash e : C\{\lambda x:A.F(x)/z\}\\ \hline \\ \mathrm{match}\ f\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow e : C\{f/z\} \end{array}$$

其中是上下文中类型的元变量。B x ：$F$$B$$x:A$

重写规则将变为：

$$\mathrm{match}\ \lambda x:A.t\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow e\quad \rightarrow\quad e\{t\{u/x\}/F(u)\}$$

这使您可以将应用程序定义为：

$$\mathrm{app}(t,u)=\mathrm{match}\ t\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow F(u)$$

除了需要有效的“逻辑框架样式”类型系统这一事实外，高阶统一的麻烦（以及有限的需求）使得这种表述不受欢迎。

但是，在文献中有一个地方存在正负区别：逻辑关系谓词的表述。两种可能的定义（在一元情况下）是

$$[\![\Pi x:A.B]\!] = \{t\mid \forall u\in [\![ A]\!], tu \in[\![B]\!]_{x\mapsto u} \}$$

和

$$[\![\Pi x:A.B]\!] = \{t\mid t\rightarrow^* \lambda x.t', \forall u\in[\![A]\!], t'\{u/x\}\in[\![B]\!]_{x\mapsto u}\}$$

第二个版本不太常见，但是可以在例如Dowek和Werner中找到。

对于弗雷德里克的回答，这里有一个稍微不同的观点。通常，强制性类型的Church编码会满足相关的律，但不会满足η律。$\beta$$\eta$

因此，这意味着我们可以如下定义一个依赖对：

π 1 π 1：∃ X ：X

$$\exists x:X.\;Y[x] \triangleq \forall \alpha:\ast.\; (\Pi x:X.\;Y[x] \to \alpha) \to \alpha$$ $\pi_1$π 2：Π p ：（∃ X ：X $$\pi_1 : \exists x:X.\;Y[x] \to X \triangleq \lambda p:(\exists x:X.\;Y[x]).\;p\;X\;(\lambda x\;y.x)$$ $\pi_2 : \Pi p:(\exists x:X.\;Y[x]).\; Y[\pi_1\;p]$

但是，第二个投影是可实现的，并且在参数模型中，您也可以证明它也具有正确的行为。（有关此内容的更多信息，请参阅我最近与Derek Dreyer有关构造微积分中参数的草案。）因此，我认为投影从根本上需要一些强大的可扩展性才能使其有意义。$\pi_2$

就后续演算而言，弱消除器的规则看起来有点像：

$$\frac{\Gamma, x:X, y:Y[x],\; \Gamma' \vdash e' : C} {\Gamma, p:\exists x:X.\,Y[x],\; \Gamma' \vdash \mathsf{let}(x,y)=p\;\mathsf{in}\;e' : C}$$ 这里，隐良好性条件意味着在不能发生自由或。如果放松该条件，我们将得到拆分规则，该规则的左规则类似于 这种替代让我想起了很多关于平等的Girard / Schroeder-Heister消除规则。我问了一个问题$p$$\Gamma'$$C$ $$\frac{\Gamma, x:X, y:Y[x],\; [(x,y)/p]\Gamma' \vdash e' : [(x,y)/p]C} {\Gamma, p:\exists x:X.\,Y[x],\; \Gamma' \vdash \mathsf{let}(x,y)=p\;\mathsf{in}\;e' : C}$$ 关于这一规则，David Baelde和Gopalan Nadathur在他们的LICS 2012论文中给出了最新版本，将演绎模和定点逻辑结合起来。我认为Conor McBride花了一些时间思考身份类型与Schroeder-Heister平等之间的关系，因此您可能想看看他的想法。

理查德·加纳（Richard Garner）写了一篇很好的文章，关于应用程序与函数拆分，有关马丁-洛夫类型理论中从属产品的优势（APAL 160（2009）），还讨论了函数拆分规则的高阶性质（参考彼得·施罗德·海斯特（Peter Schroeder-Heister）的《自然演绎的自然延伸》（JSL 49（1984）））。

Richard指出，在存在身份类型（以及类型的形成和引入规则）的情况下，funsplit与上面的应用规则+命题eta可以互换，即以下两个规则： $\Pi$

$$\frac{m : \Pi(A,B)}{\eta(m) : \mathsf{Id}_{\Pi(A,B)}(m, \lambda x . m\cdot x)} \qquad (\Pi\text{-Prop-$\eta$)}$$ $$\frac{x : A \vdash f(x) : B(x)}{\eta(\lambda(f)) = \mathsf{refl}(\lambda(f)) : \mathsf{Id}_{\Pi(A,B)}(\lambda(f), \lambda (f))} \qquad (\Pi\text{-Prop-$\eta$-Comp)}$$

也就是说，如果您有乐趣，则可以如上所述定义application和，以便成立。更有趣的是，如果您有应用程序和命题eta规则，则可以定义funsplit。$\eta$$(\Pi\text{-Prop-$\eta$-Comp})$

此外，funsplit严格比应用程序强：命题eta规则在仅具有应用程序的理论中无法定义-因此funsplit不能定义，因为命题eta规则也将是可定义的。直观地讲，这是因为应用程序规则使您更加放松：与funsplit（和eta）不同，它们不会告诉您什么函数，只是可以将它们应用于参数。我相信Richard的论点也可以针对类型进行重复，以针对与投影显示相同的结果。$\Sigma$$\mathsf{split}$

请注意，如果您具有定义性的eta规则，那么当然也可以命题化（使用）。因此，我认为您的陈述“ [...] 为函数提供了 ”和“ [后一种表示法使得对成对获得正确”。但是，Agda会同时为函数和对实现（如果被定义为一条记录），但这并不仅仅适用于应用程序。η η η $\eta(m) := \mathsf{refl}(m)$$\eta$$\eta$$\eta$$\Sigma$