用Mulmuley-Sohoni几何方法生成下界如何避免生成自然证明（在Razborov-Rudich的意义上）？

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标题的确切用语是由Anand Kulkarni（他建议创建此网站）引起的。有人问这个问题作为示例问题，但我非常好奇。我对代数几何学知之甚少，而且实际上对本科生在P / poly与NP问题中所遇到的障碍只有一个粗略的认识（非相对论，非代数化，很可能不是自然的证明）。

是什么使代数几何看起来可以绕过这些障碍呢？仅仅是现场专家的直觉，还是我们真的有充分的理由相信该方法比以前的方法更强大？这种方法能够取得哪些较弱的结果？

— 罗斯·斯尼德
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[我将按照标题所述回答问题，将有关GCT的其他问题留给其他线程处理。]证明在GCT中产生的猜想似乎将至关重要地利用以下事实：所考虑的功能（决定性和永久性，（P / poly和NP的其他相关多项式）的特征是对称性。这种必要性不是正式的结果，而是几位专家表达的直觉。（基本上，在没有通过对称性进行表征的情况下，理解出现的代数几何和表示理论要困难得多。）

这应该绕过Razborov-Rudich，因为极少的功能以其对称性为特征（绕过自然证明定义中的大条件）。再次，我没有看到这一点的证明，但这是我听到的一些专家的直觉。

现在，对于复杂的数字，我不清楚是否有Razborov-Rudich的类似物。尽管目前大多数GCT都专注于复数，但有限特征中有类似物（即将在即将发表的GCT VIII中提出）。在有限的特征中，人们实际上可能能够证明以下形式的陈述：“很少有函数具有对称性。”

[为回应Ross Snider的评论，以下是对称性表征的说明。]

首先，通过示例进行说明。例如，定义辅助函数。如果是一个置换矩阵，则，如果是对角线，则（对角线项的乘积）。现在，假设是变量（我们认为是矩阵的整体的齐次多项式 $q$ $A$ $q(A)=1$ $A$ $q(A)=det(A)$ $p(X)$ $n$ $n^2$ $n \times n$ $X$ ）。如果具有以下对称性： $p$

（转置） $p(X) = p(X^t)$
对于所有矩阵对，使得和分别是置换矩阵或对角矩阵，并且 $p(AXB) = p(X)$ $(A,B)$ $A$ $B$ $q(A)q(B) = 1$

那么对于所有矩阵是的常数。因此，我们说永久物的特征是对称性。 $p(X)$ $perm(X)$ $X$

更一般地，如果我们有一个（均相）多项式在变量，那么（该基团的所有可翻转矩阵）作用于由 $f(x_1, ..., x_m)$ $m$ $GL_m$ $m \times m$ $f$ 对（其中我们采取变量作为一个基础上维向量空间自然作用）。的稳定剂在是该子组 $(Af)(x_1,...,x_m) = f(A^{-1}(x_1),...,A^{-1}(x_{m}))$ $A \in GL_m$ $x_1,...,x_m$ $m$ $GL_m$ $f$ $GL_m$ 。我们说的特点是其对称性，如果下式成立：对于任何均匀多项式在相同程度的变量，如果为所有，然后是一个常数倍。 $\text{Stab}(f) = \{ A \in GL_m : Af = f\}$ $f$ $f'$ $m$ $f$ $Af' = f'$ $A \in \text{Stab}(f)$ $f'$ $f$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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这似乎是一个很好的答案，但恐怕我不了解有关函数对称性的知识（这意味着我缺少响应的关键细节）。您能否解开一个函数的对称性，为什么对很少的函数进行对称化很重要（又名-为什么这可以绕过Razborov的宽泛条件）？同样要明确的是，您的答案是混合的。有很多理由使该方法看起来很有希望，但是最终由于这些原因而得到的证据很大程度上是由于专家的直觉。

— 罗斯·斯尼德

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我为您添加了对称性描述。即使在极少数函数以对称性为特征的情况下，我们仍然依靠专家的直觉，即以对称性表征对于证明GCT中产生的猜想至关重要。如果确实如此，那么在这些猜想中使用的证明技术将仅对一小部分功能起作用，从而绕开了大条件。（或者那不是您要问的吗？）

— 约书亚·格罗肖

喔主显节记录在这里。非常感谢。我怎么不能接受这个答案？

— 罗斯·斯尼德

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约书亚·格罗肖（Joshua Grochow）的回答很不错，但我认为值得作更笼统的评论。该Razborov-Rudich结果说，如果你想证明一些布尔函数是不是在，然后（假设你认为自己的密码假设），你必须使用函数或者是平凡的计算或某些属性仅由少数其他布尔函数共享。实际上，要提出合适的性能并不容易。但是，在缺乏具体证据的具体细节的情况下，Razborov–Rudich的观察并没有实际排除针对电路下限的许多通用攻击计划。例如，假设我天真地说我的证明计划 $P/poly$ 参与表明，并且我打算使用的事实，是 -complete。这个幼稚的“攻击计划”几乎没有内容，但Razborov–Rudich并不排除它，因为完整性不是一个大特性。 $NP\not\subseteq P/poly$ $SAT\notin P/poly$ $SAT$ $NP$ $NP$

换句话说，只要您在计划中留出一些空间来最终采用“特殊属性”，Razborov–Rudich通常不会在计划对电路下限的攻击线的早期阶段就表现出很大的障碍。您的候选布尔函数。只有当您卷起袖子并尝试填写论证的细节时，入籍障碍才会开始抬起头来。鉴于GCT仍处于开发的早期阶段，我们不应该期望再担心入籍问题（当然，值得一提的是，GCT计划不会因为琐碎的原因而注定失败）。

您可能还想查看肯·里根（Ken Regan）对GCT 的阐述，其中包括有关入籍障碍的一些评论。

— 蒂莫西·周
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