使用拉斯维加斯算法最快已知的BPP模拟是什么？

$\mathsf{BPP}$ 和是两个基本的概率复杂度类。 $\mathsf{ZPP}$

$\mathsf{BPP}$ 是由概率多项式时间Turing算法决定的语言类别，其中算法返回错误答案的概率是有界的，即错误概率最多为（对于YES和没有实例）。 $\frac{1}{3}$

另一方面， $\mathsf{ZPP}$ 算法可以看作是概率算法，只要它们返回正确的答案就永远不会返回错误的答案。但是，它们的运行时间不受多项式的限制，它们以期望的多项式运行。

令 $\mathsf{ZPTime}(f)$ 为由概率算法确定的语言类别，该算法的错误概率为零，预期运行时间为 $f$ 。这些也称为Las Vegas算法，并且 $\mathsf{ZPP} = \mathsf{ZPTime}(n^{O(1)})$ 。

我的问题是，使用拉斯维加斯算法对 $\mathsf{BPP}$ 算法的仿真最了解的是什么？我们可以在低于指数的预期时间内模拟它们吗？在琐碎的蛮力模拟上需要花费几倍的时间吗？

更正式地，做我们知道如果 $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTime}(2^{O(n^{\epsilon})})$ 或 $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTime}(2^{n-n^{\epsilon}})$ 为一些 $\epsilon>0$ ？

— 卑鄙的
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输入长度n是多少？为什么我们可以在

接受

2^{n}

$2^n$ ？

— domotorp 2013年

2^{p o l y (n) - n^{ϵ}}

$2^{\mathrm{poly}(n)-n^\epsilon}$ 是一回事

2^{p o l y (n)}

$2^{\mathrm{poly}(n)}$ 。

— EmilJeřábek'13

我觉得这个问题很有趣。我对问题进行了编辑，以使其更具可读性和精确性。随时进行进一步编辑。PS：我猜你可能要考虑使用的BPP算法的仿真时间参数的多项式许多随机位，但作为周华健指出你写什么给

。如果需要，则必须用特定类别的有界错误概率算法替换BPP，该算法的参数为该算法使用的随机位数。

2^{p o l y (n)}

$2^{poly(n)}$

— 卡夫

可以问，如果我们可以模拟一个BPP算法，它使用

随机位

由于在蛮力模拟运行

次。

r (n)

$r(n)$

Z P T i m e (2^{r (n) - n^{ϵ}} n^{O (1)})

$\mathsf{ZPTime}(2^{r(n)-n^\epsilon}n^{O(1)})$

2^{r (n)} n^{O (1)}

$2^{r(n)}n^{O(1)}$

— 卡夫

Answers:

首先，观察到如果对于某一常数，然后。（通过不确定的时间层次进行证明。）因此证明这样的包含将是有意义的，不仅因为它是一种改进的模拟，而且还将在数十年来的随机时间下界方面取得第一个进展。 $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTIME}[2^{n^{c}}]$ $c$ $\mathsf{BPP} \neq \mathsf{NEXP}$

接着，考虑类 $\mathsf{PromiseBPP}$ ，为此，存在以下问题是“ -hard”： $\mathsf{PromiseBPP}$

电路逼近概率问题（CAPP）： 给定一个电路，输出的接受概率到内添加剂因子。 $C$ $C$ $1/6$

Impagliazzo，Kabanets，和2002年Wigderson的结果意味着，一个为CAPP（其中时间零误差算法是大小）将意味着。在STOC'10，我延长这个显示：假设每与输入位和大小，可以计算CAPP不确定地（因此，零误差就足够了）在 $2^{n^{\varepsilon}}$ $n$ $C$ $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ $C$ $k$ $n$ 时间，然后。就是说，肯定存在可以用双边误差随机性计算的问题，对于这些问题，即使轻微地击败穷举搜索的零误差算法也将意味着电路的下限。我认为应该将其解释为证明下界的一种可能方法；你的旅费可能会改变。 $2^{k-\omega(\log k)}\mathrm{poly}(n)$ $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$

请注意，即使证明也是开放的，并证明其还意味着下限：由Kabanets和2004 Impagliazzo，如果多项式身份测试（一个的问题）是在针对所有，那么我们具有用于任一常驻或下限 $\mathsf{RP} \subseteq \mathsf{ZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]$ $\mathsf{coRP}$ $\mathsf{ZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]$ $\varepsilon > 0$ $\mathsf{NEXP}$ 。最近（STOC'13即将举行的），I证明无条件要么或具有尺寸的电路，建立在Kabanets的“轻松见证”方法的基础上。这意味着两件事： $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ioZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]/n^{\varepsilon}$ $\mathsf{RTIME}[2^n]$ $n^c$

有一个使得对于所有，是无条件在 -这是关于最佳无条件去随机化在到目前为止，我们知道的 $c$ $\varepsilon > 0$ $\mathsf{RP}$ $\mathsf{ioZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]/n^c$ $\mathsf{RP/BPP}$ $\mathsf{ZPP}$
要开始获得有趣的次指数模拟，您必须“仅”假设不具有固定多项式大小的电路。 $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{RTIME}[2^n]$

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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感谢Niel抽出宝贵的时间使我的回答更清晰:)

— Ryan Williams

瑞安，我想我要问一个很愚蠢的问题，但在这里我去：在你的第一句话，为什么还需要“对所有

”？对于某些固定的c，不是ZPTIME（2 ^（n ^ c））的BPP子集暗示RTIME（2 ^（n ^ c））的BPP子集，因此也不意味着NTIME（2 ^（n ^ c）），因此BPP为不等于NEXP，否则NTIME（2 ^（2n ^ c））是NTIME（2 ^（n ^ c））的子集吗？

ϵ

$\epsilon$

— Sasho Nikolov

在所有不傻-事实上，

对于一些

是足够的

，感谢指出了这一点。但是，次指数时间算法对于其他后果是必需的。

B P P \subseteq N T I M E (2^{n^{c}})

$BPP \subseteq NTIME(2^{n^c})$

c

$c$

B P P \neq N E X P

$BPP \neq NEXP$

— 瑞安·威廉姆斯

Ryan：如果我想了解您的论文，您建议您熟悉哪些关于电路复杂性的书？

— T ....

您好Arul，幸运的是Bill Gasarch不久前问了我这个问题，并提出了以下链接的网页：cs.umd.edu/~gasarch/ryan/ryan.html

— Ryan Williams

这取决于您愿意做出什么假设。

在某些硬度的假设，即，你得到。这特别意味着，，因此，每一个语言由拉斯维加斯机接受（见“P = BPP除非E具有次指数电路：去随机化的XOR引理”，由Impagliazzo和Wigderson）。 $E \not\subseteq SIZE(2^{\varepsilon n})$ $P = BPP$ $BPP = ZPP$ $L \in BPP$

也可以使一个较温和的硬度的假设，即，，并获得该（参见引理46“以搜索的简单的见证：Impagliazzo，Kabanets和Wigderson的“指数时间与概率多项式时间”。 $ZPE \not\subseteq \rm{io-DTIME}(2^{\varepsilon n})$ $BPP = ZPP$

— 或梅尔
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除非去随机化取得任何进展，在我看来，要求拉斯维加斯机器不犯错误的要求至关重要，因此在这种情况下完全具有随机性几乎没有好处。

对于一个BPP语言通过合适的算法决定，作用于输入和一个随机字符串代表其随机选择，零误差标准意味着对于某些拉斯维加斯机必须确定其中两种情况 $L$ $A$ $x \in \{0,1\}^n$ $r \in \{0,1\}^{N(n)}$ 。如果我们给出关于没有进一步的信息，则这基本上是一个oracle承诺问题：给定一个oracle计算并考虑到承诺，产量一个输出为至少两倍的输入作为输出相反，确定哪个输出是比较常见的。

\underset{r}{Pr} (A accepts (x, r)) ⩾ \frac{2}{3} or \underset{r}{Pr} (A accepts (x, r)) ⩽ \frac{1}{3}

$\Pr_r(\text{$A$ accepts $(x,r)$}) \geqslant \tfrac{2}{3} \quad\text{or}\quad \Pr_r(\text{$A$ accepts $(x,r)$}) \leqslant \tfrac{1}{3}$

A

$A$

A^{'}

$A'$

A^{'} (r) = A (x, r)

$A'(r) = A(x,r)$

A^{'}

$A'$

a \in {0, 1}

$a \in \{0,1\}$

1 - a

$1-a$

尽管Las Vegas Machine可能使用随机技术，但如果确实将视为先知，我们可以看到，Las Vegas Machine可用的唯一策略是对A进行相对彻底（尽管不详尽）的调查。随机字符串，以查看每个字符串给出的答案。只能确定是否发现 $A'$ $r$ 不同的字符串都产生相同的输出；否则，可能性很小（但不为零！），可能会很不幸，并且可能获得的输出不具有代表性。为了获得零误差，它必须采样至少 $2^{N(n)}\!/3$ $r$ 输入。 $2^{N(n)}\!/3$ $r$

因为Las Vegas机器必须检查所有可能的随机字符串至少一个恒定部分，所以渐近地我们比确定性地测试所有可能的随机字符串更好。在零误差环境中随机模拟BPP算法时，我们没有渐进优势，这超出了用蛮力确定性地进行的范围。 $r$

注意，这同样的观点引起之间一个oracle分离BPP和ZPP，即有一个oracle 使得因为ZPP算法采用指数时间，而BPP算法可以解决有关的问题在单个查询中使用oracle并成功执行有限错误。但是，它所提供的信息仅比您已经怀疑的要多（模拟开销可能比多项式更糟），或者渐近性与幼稚的确定性模拟一样糟糕。 $A$

{Z P P}^{A} ⫋ {B P P}^{A}

$\mathsf{ZPP}^A \subsetneqq \mathsf{BPP}^A$

— 尼尔·德·波德拉普（Niel de Beaudrap）
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如果我错了，请纠正我：您给出了一些直觉的推理，为什么去随机化似乎是不可能的，但是我们知道，在某些合理的假设下，BPP，ZPP和P都是同一个人。所以直觉不一定有好处

— Sasho Nikolov

一点也不。去随机化大概是对如何用P模拟BPP的一种见解，不是吗？我只是在描述如何，如果他想要不利用算法本身结构的无条件结果，那么他可能会执行确定性模拟，就像零误差随机模拟一样。还是这个解释有问题？

— Niel de Beaudrap

我想您只是说ZPP对BPP的朴素暴力模拟并不比P对BPP的朴素暴力模拟快很多，但是我看不到应该显示什么。对我来说，这就像有人问“找到最大匹配的最快算法是什么”，并回答“嗯，对匹配结构没有任何了解，这就是指数时间”。问题是要问是否存在对BPP结构的一些已知见解，从而可以进行有效的ZPP模拟

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov：并不是要深入了解。从问题的措辞来看，在我看来，迁移到CS.SE处于边缘。我决定从字面上回答这个问题，以机智：据我们所知，接受语言L∈BPP的拉斯维加斯机器最有效的预期运行时间并不比探索暴力可能性的确定性机器好得多。有人说，如果某些条件成立，那可能是一个多项式上限，这是极好的和有益的，我赞成。但我要解决实际问题。

— Niel de Beaudrap

我认为这是一个不错的答案（编辑后现在也更加可读）。我们没有像“ P = ZPP意味着P = BPP”或“ ZPP = BPP意味着P = BPP”这样的条件结果，因此我们仍然有可能比使用确定性算法更快地通过ZP算法模拟BPP。但是相对化结果似乎暗示着任何相对化模拟都不会发生这种情况，我理解正确吗？

— 卡夫