除以小的未知多项式时，找到大的固定多项式的余数

假设我们在一个有限域中工作。在此字段上，我们得到了一个大的固定多项式p（x）（例如，度为1000）。该多项式是事先已知的，我们被允许在“初始阶段”使用大量资源进行计算。这些结果可以存储在相当小的查询表中。

在“初始阶段”结束时，我们将得到一个小的未知多项式q（x）（例如，小于等于5级）。

如果允许我们在“初始阶段”进行一些复杂的计算，是否有一种快速的方法来计算p（x）mod q（x）？一种明显的方法是为q（x）的所有可能值计算p（x）mod q（x）。有一个更好的方法吗？

如果基础字段的阶数很小，以下算法会很好地起作用 $s$。

假设我们知道 $q$ 是不可还原的 $d$。然后，国防部$q$， 我们知道 $x^{s^d} = x$持有。因此，足以预先计算。$p(x) \mod x^{s^d} - x$

通常，可以分解为不可约多项式。在这种情况下，类似的参数适用于分别计算每个模，然后将结果拼接在一起。因此，我们确实需要为每个计算。$q(x)$$q = q_1 \dots q_r$$p$$q_1, \dots, q_r$$p(x) \mod x^{s^{d'}} - x$$d' \leq d$

我认为有一个非常快速的方法可以做到这一点。让未知多项式的系数为，所以，其中是一些小的数目。现在让我们开始计算其中，其中大并且是已知的。我们使用来降低度数。最终我们得到的是度多项式，其系数是多项式（因为$q$$b_i$$q=\sum_{i=0}^d b_ix^i$$d$$p \pmod q$$p=\sum_{i=0}^D a_ix^i$$D$$a_i$$a_Dx^D= \frac {-a_D}{b_d} \sum_{i=1}^{d-1} b_{d-i}x^{D-i}$$<d-1$$b_i$$a_i$是已知的）。这些多项式一旦得到就可以快速计算。$q$

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预处理；输入： $p(x)$

1. 因子为。$p(x)$$p(x)=\prod_{i=0}^{1000} (x_i-r_i)$

2. 存储此为表不同的根的和它们各自的多重。$T$$r_j$$m_j$

在线阶段；输入： $q(x)$

1. 将为。$q(x)$$q(x)=\prod_{i=0}^5 (x_i-r'_i)$

2. 存储这个作为一个列表不同的根的和它们各自的多重。$L$$r'_j$$m'_j$

3. 当不为空时，从和任何类似项中删除下一个根/重数。$L$$L$$T$

4. 从修改后的表读取并输出。$p(x)\bmod{q(x)}$$T$

其他的建议：

• 显然，您希望对表进行排序，并通过二进制搜索（或树）对其进行访问。$T$
• （让为的度。）如果希望输出以系数表示，则只需在最后进行一堆FFT即可得到时间。$d$$p(x)$$p(x)\bmod{q(x)}$$\tilde{O}(d)$
• 根据您对它进行形式化的方式，您可能会预先计算出许多将中的术语重新组合在一起的各种方式（动态编程风格），因此大多数（或全部）乘法只是查找。那么，主要的开销就是查找次数，或者大约是。如果，这只是一些具体的算术运算。$T$$O(\log d)$$d=1000$