与子家庭一起打球

让 $F$ 成为一个家庭 $d$有限宇宙的元素子集 $U$对象。一个家族$H$ 的 $k$的元素子集 $U$，带有 $1 \le k < d$，是 $(k,d)$- 击球设定的$F$ 如果每个 $V \in F$ 至少有一套 $W \in H$ 这样 $W \subset V$。

给定一个集合 $F$ 如上所述， $(k,d)$- 命中问题是找到最小的$(k,d)$-命中集 $H$ 对于 $F$。

什么时候 $k = 1$我们有标准的命中集问题，以前有很多结果。我知道针对这种情况的参数化分析$k = 1$ 和 $d \le 3$（例如，参见Brankovic和Fernau）。

有谁知道关于复杂度或近似硬度的任何结果 $(k,d)$-命中问题：

1. $k = 1$ 和 $d = 4$？
2. $d = 4$ 和 $1 < k < d$？
3. $1 \le k < d$ 和 $d$ 随心所欲？

对于一个常数 $d$ 的 $(k,d)$-命中问题并不比原始问题难 $d$-命中集（即 $k=1$），同时考虑到近似值和参数化的复杂度。有一个简单的减少$kd$-HS至 $d$-HS。对于一个实例$(U,\mathcal{F},d,k)$ 第一个问题，我们得到一个实例 $(U',\mathcal{F'},d)$ 第二个元素中的每个元素 $e \in U'$ 对应于 $k$的元素子集 $U$，并在 $\mathcal{F'}$ 对应于 $\mathcal{F}$ 以相同的方式（即映射所有 $k$的元素子集 $U$ 到元素 $U'$）。以来$k$ 是一个常量，新实例的大小是一个第一个实例大小的多项式函数（$O(n^k)$）。第一个问题的命中集对应于第二个问题的基数相同的命中集，反之亦然，因此，减少量是近似保留的。