计算图形平均距离的复杂性

让 $\rm{ad}(G)$ 是一个连通图的平均距离 $G.$

计算单程 $\rm{ad}(G)$ 是通过累加的元素 $D(G),$ 的距离矩阵 $G$ 并适当地缩放的总和。

如果输出图是一棵树，则已知可以在线性时间内计算平均距离（请参见B.Mohar，T.Pisanski-如何计算图的Wiener指数）。对于具有有限树宽的图，似乎也有快速算法。

因此，一个有趣的问题是知道是否有帮助 $D(G).$ 换一种说法

是否有可能来计算 $\rm{ad}(G)$ 子二次时间？

我有兴趣知道的是，关于为什么不可能实现这一点，是否存在理论下限。

cc.complexity-theory graph-theory graph-algorithms

— 耶内
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连同您提到的有界树宽结果（Cabello和Knauer，“通过正交范围搜索的有界树宽图算法”，Comp。Geom。2009）一样，我们知道如何快速计算出等距可嵌入树的笛卡尔积中的图（（与化学图算法有关）。请参见Yeh和Gutman，“关于合成图中所有距离的总和”，离散数学。1994年，和Chepoi和Klavžar“的Wiener指数和线性时间苯环系统的塞格德指数”，1997年JCICS

— 大卫Eppstein的

$O(n^{2-\delta})$ $\delta>0$ $\tilde{O}(n)$ $n$ $n$ $O(2^{(1-\varepsilon)n})$

为了证明这一点，请注意，我们最近在（稀疏图的直径和半径的快速近似算法，Liam Roditty，V。Vassilevska Williams。STOC'13。）中证明，如果可以区分二次图中直径为2和3的图，时间，那么SETH是错误的。证明来自CNF-SAT。相同的减少量可以用来表明在二次时间内计算ad（G）表明SETH为假，因为减少量图中的平均距离为（其中和是CNF-SAT实例不能满足的情况下的约简实例中的节点和边的数量，如果有令人满意的分配，则为更多。 $2-M/{N\choose 2}$ $N$ $M$

— 维吉
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