考官的问题（SAT决策实例/答案的统一生成）

该课程的助教已设法编写了一个程序（确定性地）生成困难的考试题。现在，她想编写一个生成相应答案的程序。在考官的问题询问这是否是总是可能的; 在考官的猜想指出，假设，，它是不是：想出一个问题往往比想出他们的解决方案更容易。$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

更正式地说，令为确定性图灵机，在输入1 n上，它在多项式时间内生成大小为n的布尔公式。我想知道对于所有这样的M，是否存在确定性多项式时间图灵机M '，如果M （1 n）具有令人满意的赋值，则在输入1 n上输出“ 1 ”，否则输出“ 0 ” 。$M$$1^n$$n$$M$$M'$$1^n$$1$$M(1^n)$$0$

假设，是否已经提出或回答了这个问题？如果未回答，那么可能会对结果产生什么样的附加假设（例如单向函数？）？除上述任何一项外，我的“猜想”是“应答” TM并不总是存在，但是您的直觉是什么？$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

谢谢！

通过填充，您要问的问题等效于一元NP =一元P，而后者又等效于NE =E。

从标题开始，也许您想问一问是否有可能生成输入/输出对，以使输入上的分布“困难”。这样做的可能性介于P NP 之间，并且存在单向函数。$\ne$

在受限的计算模型中，这是可能的。例如，可以为AC 0或更低版本的奇偶校验或多数功能生成输入/输出对。请参阅分布的复杂性。$^0$

$M\in \mathsf{PF}$$\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$$\mathsf{P}$

$succinctSAT \in \mathsf{E} \implies$ 是：

$1^n$$n^{O(1)}$

$\varphi = M(1^n)$$n$$|\varphi|$$\varphi$$\lg n+O(1)$$M$$n$$succintSAT$$\mathsf{E}$$2^{O(\lg n)} = n^{O(1)}$

是 $\implies succinctSAT \in \mathsf{E}$

$M \in \mathsf{PF}$$C$$M$$C$$\bot$

$\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$$\mathsf{P}$$succinctSAT$

$SAT$

我们必须弄清实例是硬的意思，因为从理论上讲，任何实例本身都很容易，因为它可以通过总是说“是”的算法或总是说“不”的算法来解决。在我看来，您试图通过施加统一性来解决此问题。用密码学的方式思考，如果没有一些不向对手透露的信息，那么隐藏其余的计算毫无意义，因为对手可以模拟协议。

$n$$n$

$A$
$k \in \{0,1\}^n$
$\varphi_k$$w_k$
$D$
$A$

或更正式地说，

$A\in \mathsf{PF}$$D \in \mathsf{P/poly}$$SAT(A(k)_1) = A(k)_2$$k$

$$\mathsf{Pr}_{k \in \{0,1\}^n} \{ D(A(k)_1) = SAT(A(K)_1) \} < \frac{1}{poly(n)}$$

$k$$\varphi_k$$A(k)_2$

$f$$f(x)=y$$f$$y$$\varphi_{f,y}(x)$$x$$\varphi_{f,y}(x)$$SAT$$f$$f$

另请参阅Jan Krajicek的书“带有随机变量的强制”（2011年）中关于证明复杂度生成器的第29章和第30章。