近似行列式的含义

众所周知，在确定性空间中，可以精确计算 ×矩阵的行列式。什么是最多近似标准的实矩阵的行列式的复杂影响（）的随机数空间，最多说，一个准确性？ $n\times n$ $\log^2(n)$ $1$ $\left\|A\right\|\leq 1$ $1/\text{poly}$

在这方面，要求乘积或加法的“正确”近似值是什么？（请参阅下面的答案之一）。

determinant cc.complexity-theory

— 利尔·埃尔达（Lior Eldar）
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这些应该在Real RAM上吗？

$\:$

我不确定我是否正确理解了这个问题，但是如果您指的是算术的精度，那么我假设每个实数都存储在log（n）位中。

— Lior Eldar

冒着无法正确理解问题的细节的风险：能够在任何因素内近似行列式需要确定方阵是否为奇异，这会产生一些后果。

一方面，它对一般图是否具有完美匹配进行了随机测试（通过Tutte矩阵和Schwarz-Zippel）。我不认为后者在随机日志空间中是已知的（例如，复杂性动物园列出了二分法完美匹配对NL来说很难）。

— 马格努斯·瓦尔斯特伦
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谢谢马格努斯，尽管我实际上是在思考一个加法近似误差，在这种情况下，您无需区分矩阵是否为奇异。多脂近似也可能引起人们的兴趣，所以现在，我不确定最好的定义是什么。

— Lior Eldar

@LiorEldar，即使矩阵存在加法近似误差，也可以肯定，即使矩阵中的条目为整数且加法误差界小于0.5，您是否具有万无一失的奇点测试？

— 彼得·泰勒

嗨，彼得·泰勒（Peter Taylor），我认为要说的是0.5精度，首先需要以某种方式指定您支持的最大运算符范数。因此，例如，如果您的输入具有，那么行列式加法误差可以为。因此，即使您的输入以位的截断整数的形式给出，那么以整数表示的近似行列式所要求的最大范数也将是（整数），这意味着近似误差为相对于比小得多。

A

$A$

‖ A ‖ \leq 1

$\left\|A\right\|\leq 1$

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

l o g (n)

$log(n)$

n^{n}

$n^n$

0.5

$0.5$

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

‖ A ‖

$\left\|A\right\|$

— Lior Eldar，

我认为相对于规范而言，加性误差的问题在于它的缩放比例并不理想。说我有，其产生的算法

相对近似误差

。现在，让

为使用

副本

作为块形成的

块对角矩阵。然后

1 / p o l y (n)

$1/poly(n)$

| | A | |

$||A||$

A^{'}

$A'$

n^{3} \times n^{3}

$n^3 \times n^3$

n^{2}

$n^2$

A

$A$

| | A | | = | | A^{'} | |

$||A||=||A'||$ ，但

，因此的加法误差成的加法误差。

det (A^{'}) = det (A)^{n^{2}}

$\det(A')=\det(A)^{n^2}$

| | A^{'} | | / p o l y (n)

$||A'||/poly(n)$

d e t (A^{'})

$det(A')$

O (1)

$O(1)$

d e t (A)

$det (A)$

— 凯文·科斯特洛