区间覆盖问题的复杂性

考虑下面的问题 $Q$ ：我们给出的整数，和间隔与。我们也给予整数。任务是选择最小间隔数 $n$ $k$ $[l_i,r_i]$ $1\leq l_i\leq r_i\leq 2n$ $2n$ $d_1,…,d_{2n}\geq 0$ $[l_i,r_i]$ 这样对于每个，至少要选择包含整数间隔。 $i=1,…,2n$ $d_i$ $i$

不难看出可以在多项式时间内求解（见下文）。 $Q$

现在考虑以下经过稍微修改的问题 $Q’$ ：问题的输入与之前相同。但是，现在的任务是选择最小数量的间隔，以便对于每个，至少包含整数间隔或至少包含整数的间隔被选中（用“或”表示通常的逻辑或）。 $i=1,…,n$ $d_{2i-1}$ $2i-1$ $d_{2i}$ $2i$

我的问题：能在多项式时间内求解吗？ $Q’$

这是两种解决方法有效： $Q$

一个简单的贪心算法：从左到右扫过间隔，并仅选择“满足”数字所需的尽可能少的间隔。只要在不同的时间间隔之间进行选择，就选择右端点最大的一个。 $d_i$

的整数程序：对于每一个间隔引入一个决策变量与当且仅当被选择的时间间隔。的目标是最小化，受约束 $[l_i,r_i]$ $x_i\in\{0,1\}$ $x_i=1$ $x_1+…+x_k$ $\sum_{j:i\in[l_j,r_j]} x_j\geq d_i$ 。该整数程序的约束矩阵具有连续的1性质，因此该程序的线性规划松弛具有整数最优解。

感谢您的任何提示，也为您提供参考！

cc.complexity-theory np-hardness

— TorstenMütze
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-1

Q的每个实例都可以转换成多集覆盖问题的一个实例，其中位置是间隔，覆盖了连续的需求点序列（= integer ）。 $[l_i,r_i]$ $d_i$

— 本杰明
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G = (V_{1}, V_{2}, E)

$G = (V_1,V_2,E)$

V_{1}

$V_1$

V_{1}

$V_1$

V_{2}

$V_2$