参考电路下界

前言

交互式证明系统和Arthur-Merlin协议是1985年由Goldwasser，Micali和Rackoff和Babai引入的。最初，人们认为前者比后者更强大，但Goldwasser和Sipser表明它们具有相同的功能（关于语言识别）。因此，在本文中，我将交替使用这两个概念。

假设是允许使用轮交互式证明系统的语言类别。鲍鲍伊证明。（可喜的结果。）ķ 我P [ ø （1 ）] ＆SubsetEqual; Π P $IP[k]$$k$$IP[O(1)] \subseteq \Pi_2^P$

起初，尚不知道无数回合能否增加IP的力量。特别是，它显示出具有矛盾relativizations：Fortnow和Sipser表明，对于一些预言，它认为。（因此，相对于A，IP [poly]不是PH的超类。）$A$甲我P [ p ø 升ÿ ] P $coNP^A \not\subset IP[poly]^A$$A$$IP[poly]$$PH$

另一方面，以下论文：

Aiello, W., Goldwasser, S., and Hastad, J. 1986. On the power of interaction. In Proceedings of the 27th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (October 27 - 29, 1986). SFCS. IEEE Computer Society, Washington, DC, 368-379. DOI= http://dx.doi.org/10.1109/SFCS.1986.36

表明，对于某些Oracle $B$，我们有$IP[poly]^B \not\subset PH^B$。（因此，$IP[poly]^B \neq IP[O(1)]^B$因为如上所述，后者是\ Pi_2 ^ {P，B}的子类$\Pi_2^{P,B}$。）

问题

Aiello，Goldwaseer和Hastad的论文（如上所述）指出：

所采用的技术是用于证明[FSS]，[Y]和[H1]中使用的小深度电路的下界的技术的扩展。

其中[FSS]，[Y]和[H1]为：

[FSS] Furst M., Saxe J. and Sipser M., "Parity, Circuits, and the Polynomial Time Hierarchy," Proceedings 22nd Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 1981, 260-270.

[Y] Yao A. "Separating the Polynomial-Time Hierarchy by Oracles," Proceedings of 6th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 1985, 1-10.

[H1] Hastad J. "Almost optimal lower bounds for small depth circuits," Proceedings of 18th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 1986, 6-20.

我发现这些论文很老，很难阅读。我阅读了Arora＆Barak的书的第14章，但显然它不能满足我的所有需求。

您对“电路下界”有何建议？

（我特别需要类似调查的参考；更新的并且不需要很多专业知识的参考是更可取的。）

您想要的一个很好的参考是了解计算PARITY函数的电路的指数下限。$AC^0$

现在，您还没有说明您是否真的想理解证明，还是只是想以调查文章解释事物的方式从高层次理解事物。

我最近阅读并喜欢的一篇调查文章是Boppana和Sipser撰写的“ 有限函数的复杂性 ”。

如果您真的想坐下来理解证明，则可以基于切换引理（出现在您引用的论文中[FSS]，[Y]和[H1]）或Razborov-Smolensky来阅读证明。证明。

有关使用切换引理的证明，Håstad的博士学位。如果您是该地区的新手，那么这篇论文是不错的读物，如果您很难理解。关于证明的一个更好的阐述是艾伦·海顿（Allan Heydon）的“电路复杂性介绍和哈·斯塔德证明指南”。唯一的问题是我无法在线找到它，并且我有纸质版。如果您不熟悉电路复杂性，我真的推荐您。

对于Razborov-Smolensky方法，只需在google上找到它，您就会获得很多讲义。我从以下三个讲义中了解了下限：Sanjeev Arora，Madhu Sudan和Kristo ff er Arnsfelt Hansen。

如果您很难遵循哈斯塔德论文中关于交换引理的论述，可以尝试保罗·比姆（Paul Beame）的``交换引理入门''，由于Razborov的版本有所不同（它也明确使用了决策树，这很关键在交换引理的某些应用中）

如果您可以使用这本书，则非常适合解释下界。

Heribert Vollmer撰写的电路复杂性简介。

我刚刚读完它，尽管它说“介绍”是对电路复杂性的非常深刻的论述。它在第3章中详细说明了所有（最流行的）证明电路下限的技术。

最近的参考文献是Stasys Jukna的布尔函数复杂性。您只需要向他发送电子邮件或填写表格即可获取草稿的pdf。

Boppana和Sipser所做的调查《有限函数的复杂性》是一个较老但仍不错的参考。与其他来源相比，该调查具有很高的可读性。

另一本很好的参考书是Clote和Kranakis撰写的《布尔函数和计算模型》一书。

我不是专家，但是蓝皮书（http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Functions/）中可能有有趣的信息。

艾伦德（Allender）在1997年发表了一篇论文：新千年黎明之前的电路复杂性。

Emanuele Viola出版了《小深度计算的威力》一书，其中包含许多关于电路下限的结果。

这本书的初步版本可以在这里找到。