行列式和矩阵乘法-算法复杂度和算法电路大小的相似性和差异

我试图了解行列式和矩阵乘法的算法复杂度和电路复杂度之间的关系。

已知的行列式矩阵可以是计算在时间，其中是所需要的最小时间乘以任意两个矩阵。还已知的是决定因素的最佳电路复杂性是多项式在深度和指数在深度3.但是矩阵乘法的电路复杂性，对于任何一定的深度，是仅多项式。 $n\times n$ $\tilde{O}(M(n))$ $M(n)$ $n\times n$ $O(\log^{2}(n))$

为什么行列式和矩阵乘法的电路复杂度有所不同，而从算法的角度来看行列式的计算与矩阵乘法相似呢？具体来说，为什么电路复杂度在深度处有指数间隙？ $3$

可能的解释很简单，但我看不到。有“严谨”的解释吗？

另请参阅：行列式的最小已知公式

— T ...
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Answers:

考虑针对各种小复杂度类别的电路值问题和布尔公式评估。据我们所知，它们的确定性时序时间复杂度相似，但从电路复杂度的角度来看却有很大不同。一个模型中一种特定资源类型的相似性并不意味着与其他模型中其他资源的相似性。一个问题可能是，我们可以为一个开发人员利用并行计算，而不能为另一个开发人员进行并行计算，但是它们的顺序时间复杂度可以相同。

我们何时可以期望模型之间的两个问题的复杂性和不同资源之间的关系更加牢固？当它们很健壮时，可以在两个方向上减少它们之间的相互影响，从而减少那些模型中的资源。

编辑：乘法具有次指数大小的深度3电路。证明行列式的下界将表明它不是在与分离，这是未知的。 $\mathsf{NL}$ $\mathsf{NC^2}$

— 卡韦
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“乘法具有次指数大小的深度3个电路。” 我认为乘法在任何深度都具有

电路大小，因为它只涉及提取

变量并按一定顺序相乘并加上中间乘积。

O (n^{3})

$O(n^{3})$

n^{2}

$n^{2}$

— T ....

的两个整数相乘完成，因此不在

。

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— 卡夫

我现在只看顺序复杂性。

— 牛逼....

我不确定我是否会听从您的评论。我认为我的帖子在布尔设置中回答了该问题（该问题最初并未提及算术电路IIRC）。对于算术电路设置，我不太了解，希望其他人会回答这个问题。

— 卡夫

我想说算术设置中的差距告诉我们，矩阵乘法本质上比行列式要并行得多。换句话说，尽管两个问题的顺序复杂度密切相关，但它们的并行复杂度却并不那么接近。

$D(n)$ $n\times n$

Ø （ 日志 ñ ） \leq d （ ñ ） \leq Ø （ {日志}^{2} ñ ） 。

$O(\log n)\le D(n) \le O(\log^2 n).$

3

$3$

(A \cdot B)_{i j} = \sum_{k} A_{i k} B_{k j}

$(A\cdot B)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}$

— 布鲁诺
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我不知道这是否是“为什么电路复杂度为什么在深度3处有指数差距？”的答案，但是至少您有一个事实证明是Csanky的论文。

— 布鲁诺

如果我理解正确，那么您的意思是：要拥有多项式处理器，需要对数深度吗？

— T ..

我不记得Csanky使用的确切模型。实际上，他正在考虑当今我们称之为有界扇入的算术电路。因此，下限是微不足道的，与矩阵乘法的比较并不重要。

— 布鲁诺