在NP-完全问题中是否可以存在一个很大的多项式可解决问题的隐藏子集？

假设P！= NP。

我们知道我们可以随时制作3-SAT的简单实例。我们还可以生成我们认为是硬实例的内容（因为我们的算法无法快速解决它们）。有什么方法可以防止硬实例的集合任意地变小，只要对于任何给定的实例大小（n），只有大小为Poly（n）的Poly（n）（甚至是常数）实例？

对于任何硬3-SAT实例，我们都必须将其减少的所有3-SAT实例的集合通过NP-Completeness减少循环循环添加，但是我不认为这会增加硬实例的数量。

在这个世界上，我们可以构造一个可以多项式解决所有NP完全问题（少数例外）的算法。

编辑：问题的一个较软的变体：即使我们显示P！= NP，我们如何知道给定生成n个3-SAT大小问题的方法是否实际上以一定的概率生成了一个难题？如果没有办法仅凭P！= NP来知道，那么什么可以证明我们可以产生一个困难的NP完全问题？

np-hardness p-vs-np

— 艾略特·J·J
source

是。在最坏的情况下，NP完全问题很难解决。NP完全问题的大多数实例都是可以有效解决的。但是，Russell Impagliazzo提出了一个世界（Pessiland），其中存在平均情况的NP完全问题，但不存在单向函数。在这个世界上，我们无法用已知的解决方案生成NP完全问题的硬实例。

— Mohammad Al-Turkistany

如果每个长度的硬实例的集合在多项式上较小，则NP将包含在P / poly中。还有其他查看此问题的方法，请搜索HeurP。

— 卡夫

这个问题似乎可以解决您的编辑问题-当且仅当一元一元我们才能（确定）生成SAT的硬实例。

N P \neq

$\mathsf{NP} \neq$

P

$\mathsf{P}$

— 美国UL

@ SarielHar-Peled特别是，NP P / poly将PH折叠到第二级，这与P！= NP一致。

\subseteq

$\subseteq$

— Suresh Venkat

没有已知的方法可以连接NP的最坏情况和平均情况。但是，有一些方法可以将“中等”平均硬度与“中等”平均硬度联系起来。我的论文是两者的起点。 ccs.neu.edu/home/viola/papers/thesis.pdf

— Manu

Answers:

1）根据确切的含义，可以使用马哈尼定理，从到来加强Kaveh观察的结论。也就是说，如果有一种算法可以求解SAT并在所有长度为实例上运行，除了可能的这样的实例（其中和都是多项式），那么实际上。参见，例如Meyer和Paterson及其参考，或Schoning的专着“ Complexity and Structure” $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ $\leq p(n)$ $n$ $q(n)$ $p$ $q$ $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ 。因此，如果这捕获了您对“硬实例”的概念，则对于每个，必须有多于硬实例，并假设。 $poly(n)$ $n$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

仅供参考，此类算法有时被称为“几乎是多项式时间”的“ apt”或“ APT”算法（不要与更现代的复杂度类混淆，后者恰好等于）。 $\mathsf{almostP}$ $\mathsf{BPP}$

2）可以进一步加强上述内容，如下所示。假设。然后上面说，对于求解SAT和多项式任何算法，存在一组超多项式大小的实例，在这些实例上，该算法花费的时间超过。但是集合可以取决于算法。 $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $p$ $p(n)$

较强的结果切换了量词，并得出以下结论：存在一个超多项式大小集H（用于“硬”），这样，对于任何求解SAT和多项式p的算法A，A花费的时间都超过。 H的有限个元素。这样的H称为复杂度核心（大小假设不是复杂度核心定义的一部分）。Lynch给出了复杂性核心的定义和存在。我刚才引用的结果由Orponen和Schoning证明。 $p(n)$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
source

没有人提到过Impagliazzo著名的“五个世界”论文。

http://www.cs.ucsd.edu/users/russell/average.ps

— 没有
source

最初的评论提到了这一点？

— 安德拉斯·萨拉蒙

-3

关于这个问题的另一个角度（在马哈尼定理的引用之外）。SAT中的“转换点”是对这种情况的研究，特别是在硬实例发生概率最大的“临界点”周围，尤其是在这种情况下，硬分布实例相对于硬分布实例更为严重。关于该主题的文献既漫长又复杂。它具有经验和分析方法。它与物理学/热力学有着密切的联系。[3] 不幸的是，目前没有关于这个非常重要的基础复杂性理论主题的维基百科条目。而且，似乎没有很多关于该主题的整体或“标准”调查。这是最近开始使用SAT [1]和TCS相变的一种参考。[4] 您的问题也属于“一个很好的答案基本上将接近P $\stackrel{?}{=}$ NP证明。”

有什么方法可以防止硬实例的集合任意地变小，只要对于任何给定的实例大小（n），只有大小为Poly（n）的Poly（n）（甚至是常数）实例？

Mahaney定理（用稍微不同的方式表述）再次直接回答了这个问题。另一种看待这种情况的方式是，尝试以某种键/特征的方式缩小实例的分布范围会导致NP完全功能。单调电路复杂度的一个例子是“切片函数”。[2]

[1] 预测相变时的满意度 Lin Xu，Holger H. Hoos，Kevin Leyton-Brown

[2] Paul ES Dunne：中央切片功能的复杂性。理论。计算科学 44：247-257（1986）

[3] 随机满意度问题的解析和算法解 M. Mezard，G。Parisi，R。Zecchina

[4] NP完全问题中的相变：摩尔，组合论和计算机科学的挑战

— z
source