图匹配问题的历史和状态

了解更多关于此问题的部分困难在于，图匹配问题与其更著名的表亲（匹配问题）不同，但在使用搜索引擎时很难与之区分开。

给定两个图$G=(V,E)$和$G'=(V',E')$，使得$|V| = |V'|$，任务是找到一个双射峰$\pi : V \rightarrow V'$，使得该双射峰在$G$和边缘之间建立尽可能多的对应关系$G'$。

换句话说，如果$M$和$M'$是邻接矩阵，那么我们想最大化

$\sum_{v,w \in V} M_{v,w} \cdot M'_{\pi(v),\pi(w)}$

这个问题显然包含图同构作为特例，并且可以在（非多项式！）归约条件下简化为二分匹配。

确实存在哪种算法，对其复杂性了解多少？

从论文近似图同构：

$G_1,G_2$$π$$V(G_1)$$V(G_2)$$n^{O(\log{n})}$$α < 1$$α$$n^{O(\log{n})}$Arora等人的时间加性误差近似算法。[数学。程序，92，2002]，其中包含一个简单的平均算法。我们还考虑了相应的（不匹配）最小化问题，并证明对于任何恒定因子来说，NP难于近似。此外，我们证明，映射到超过0.94的边的最大边数也是NP难的。$α$$α$

我不知道你的问题。但是我碰巧知道关于（PDFS）的图匹配算法的大量论文。塞思·佩蒂（Seth Pettie）的掌声！

@Austin Buchanan在上面关于近似图同构指出的论文似乎与所要求的版本不符。我假设邻接矩阵有个条目，在这种情况下，目标仅测量匹配的边缘。近似图同构模型会同时测量匹配的边和未匹配的边，从近似的角度看，它会容易一些。$0,1$

看来，所提出的问题至少与目前仅允许多项式逼近的稠密子图问题一样困难。有关更多详细信息以及算法和硬度方面的当前状态，请参见http://arxiv.org/abs/1001.2891和http://arxiv.org/abs/1110.1360。$k$

现在进行还原。假设我们要解决图的稠密子图问题；也就是说，我们要找到节点的子集，该子集可以最大化诱导图的边数。可以通过设置这个降低到您的问题是由在一个集团型的一个曲线图 -vertices和分离顶点，和被设定为。$k$$H$$k$$S$$G[S]$$G$$k$$n-k$$G'$$H$