您能确定多项式时间内两个置换的总和吗？

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有2个问题最近问上cs.se它们或者涉及或有一个特殊的等同于以下问题情况：

假设有一个序列 $a_1, a_2, \ldots a_n$ 的 $n$ 号码，使得 $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).$ 分解成两个置换的总和， $\pi$ 和 $\sigma$ ，的 $1 \dots n$ ，使得 $a_i = \pi_i + \sigma_i\,$ 。

有一些必要条件：如果 $a_i$ 进行排序，这样 $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\,$ ，那么我们必须

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq k (k + 1) .

$\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1).$

但是，这些条件还不够。从我问的这个math.se问题的答案来看，序列5,5,5,9,9,9不能分解为两个排列的总和（一个人可以通过使用1或5都只能与4配对）。

所以我的问题是：这个问题的复杂性是什么？

— 彼得·索尔
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顺便说一句，我想到了一个简单的变体，我不确定它的复杂性。您能否确定多项式时间内两个置换的定点自由和？（我们要求两个排列在每个位置，即不同意

所有的

）

π_{i} \neq σ_{i}

$\pi_i \ne \sigma_i$

i

$i$

— 穆罕默德·Turkistany

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不可以，除非P = NP，否则无法确定多项式时间中两个置换的总和。您的问题是NP完全问题，因为问题的决策版本等效于NP完全问题带有目标和的数字匹配： $2$

输入：序列正整数，，为 $a_1, a_2, \ldots a_n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1)$ $1 \le a_i \le 2n$ $1 \le i \le n$

问题：是否有两个置换和，使得为？ $\psi_1$ $\psi_2$ $\psi_1(i)+\psi_2(i)= a_i$ $1\le i \le n$

在参考文献中，数字3维匹配（RN3DM）的严格限制变体被证明具有很强的NP完整性。

RN3DM，给定一个多重集的整数和整数使得，是否存在两个置换和使得 $U = \{u_1, . . . , u_n\}$ $e$ $\sum_{j=1}^n u_j + n(n + 1) = ne$ $\lambda$ $\mu$ $u_j + \lambda( j ) + \mu( j ) = e$ ，对于？ $j = 1, . . . , n$

从RN3DM容易地减少到带有目标和的数字匹配问题：给定RN3DM的实例。我们通过使构造对应的实例为 $2$ $a_i= e-u_i$ $1 \le i \le n$

W. Yu，H。Hoogeveen和JK Lenstra。在具有延迟和单位时间操作的两机流水车间中最小化制造期是NP-hard的。日程安排杂志，7：333–348，2004年

编辑10月1日：您的问题称为PERMUTATION SUMS。自1998年以来，它就被Steve Hedetniemi列入“组合优化中的开放问题”。

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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感谢您的回答。我已经回答了cs.se上的一个问题，该问题启发了这个问题（不是以您的参考文献直接回答的形式），但是我认为自给出答案后，您应该有机会第一次回答第二个问题供您参考。

— 彼得·索尔

非常感谢Peter。我很高兴能够为您提供帮助。我认为您会提供更好的答案。因此，请继续回答该问题。

— Mohammad Al-Turkistany 2013年

Here is the problem statement as it appeared on the above Web page: PERMUTATION SUMS [Cheston, 198X] INSTANCE: An array A[1..n] of positive integers. QUESTION: Do there exist two permutations r and s of the positive integers {1,2, ... , n} such that for 1 <= i <= n, r(i) + s(i) = A[i]?

— Mohammad Al-Turkistany

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On the other hand, Marshall Hall showed that it is possible to identify the difference of two permutations easily.

— anonymous moose
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Marshall Hall's theorem applies to the sum as well, but both the difference and the sum have to be computed modulo

n

$n$ for his result to apply. Over

Z

$\mathbb{Z}$ , both the sum and the difference are NP-complete.

— Peter Shor

3

@PeterShor For completeness, please post your comment as separate answer by providing a proof sketch of the NP-completeness of identifying the difference of two permutations.

— Mohammad Al-Turkistany

3

For completeness: Suppose we have two permutations

ϕ

$\phi$ and

π

$\pi$ . We then have

\bar{π} (i) = n + 1 - π (i)

$\bar{\pi}(i) = n+1 - \pi(i)$ is also a permutation. Now, if

ϕ + π

$\phi+\pi$ is the multiset

{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ , then

ϕ - \bar{π}

$\phi-\bar{\pi}$ is the multiset

{x_{1} - (n + 1), x_{2} - (n + 1), \dots, x_{n} - (n + 1)}

$\{x_1-(n+1), x_2-(n+1), \ldots, x_n-(n+1)\}$ . For example,

{- 2, - 2, - 2, 2, 2, 2}

$\{-2,-2,-2,2,2,2\}$ cannot be represented as a difference of two permutations because

{5, 5, 5, 9, 9, 9}

$\{5,5,5,9,9,9\}$ is not the sum of two permutations.

— Peter Shor