是

在D. Bera，F。Green和S. Homer进行的“小深度量子电路”调查中（ACM SIGACT新闻的第36页，2007年6月，第38卷，第2期），我读到以下句子：

可证明的经典版本（其中和门最多具有恒定扇出）比弱。 $QAC^0$ $AND$ $OR$ $AC^0$

缺少此声明的参考。我将此类称为，其中表示“边界扇出”。（复杂性动物园关闭了，我无法验证此类文献中是否已有名称）。如果我们假设输入位无限制扇出，那么这些电路似乎等同于恒定深度公式，直到大小增加多项式，因此上述声明没有意义。相反，如果我们也为输入位假设扇出是有限的，那么我将无法想到将此类与分开的任何语言。可能的候选语言可能是 $AC^0_{bf}$ $bf$ $AC^0$ ，即，弦的仅具有一个1的语言很容易显示，但是我没有设法证明。 $X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}$ $X \in AC^{0}$ $X \notin AC^{0}_{bf}$

问题是：

是其实比弱？如果是，关于如何证明它的任何想法或参考？分隔这两个类别的语言是什么？什么？ $AC^0_{bf}$ $AC^0$ $X$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— 亚历山德罗·科森蒂诺
source

输入位的有限扇出将使电路具有线性尺寸。任何需要超线性大小的

函数都会将它们分开。

A C^{0}

$AC^0$

— 凯夫

@Kaveh：也许您可以将其作为一个答案重新发布，也许是一个显式函数的示例，该函数需要超线性尺寸的

电路以及一个显示尺寸下限的参考？（或者如果很简单，就在您的答案中包含论点？）

A C^{0}

$AC^0$

— Robin Kothari 2010年

@Kaveh谢谢。我不知道

和线性尺寸恒定深度电路（显然称为

）之间的分隔是已知的。参考文献是S. Chaudhuri和J. Radhakrishnan撰写的“电路复杂性的确定性限制”。@Kaveh可以发表评论为答案吗？

A C^{0}

$AC^0$

L C^{0}

$LC^0$

— 亚历山德罗·科森蒂诺

如后续问题cstheory.stackexchange.com/questions/7447/…所述，

与线性大小公式相同。

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

— domotorp 2011年

输入位和门的扇出限制将使电路尺寸线性。设为门和输入的扇出边界。它是DAG，最大输出度为，最大路径为。在每个级别中可用的导线的数目可以增加次，并在顶部提供导线的数目是，所以导线的电路中的总数量为至多是。 $k$ $k$ $d$ $k$ $kn$ $kn \sum_{i=0}^d k^i \leq k^{d+1} n$ $O(n)$

任何函数需要超线性尺寸将类的功能与从有界扇出（也被施加到输入比特）分离。这里有些例子： $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0}$

[CR96]：需要超线性大小的函数为 $\mathsf{AC^0}$ 近似选择器 $\frac{1}{4}$ 。A -approximate选择器是其值为： $\frac{1}{4}$
- 秒数最多为时为 $0$ $1$ ， $\frac{n}{4}$
- 每当的数目 s是至多 $1$ $0$ ， $\frac{n}{4}$
- 可以为或。 $0$ $1$
$k$ $\mathsf{AC^0}$ $n^{\Theta(k)}$ $n^2$ $n$ $k\gt 2$
可能有可能将2个罐中的示例推广到给定的无序结构中存在任何非平凡的（需要一个以上的位）固定诱导子结构，例如：
- 在给定图中存在长度为2的路径，
- $\#_1(x)=2$
$\mathsf{AC^0_{bf}}$
$\omega(1)$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $O(1)$

$\mathsf{AC^0_{bf}}$ $S$ $k^dS$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $k^{2d+1}n$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$

参考文献：

[CR96] S. Chaudhuri和J. Radhakrishnan，“ 电路复杂性中的确定性限制 ”，1996年

[Ros08]本杰明·罗斯曼（Benjamin Rossman），“ 关于k-Clique的恒定深度复杂性 ”，2008年

[Juk] Stasys Jukna，“ 布尔函数复杂性：进步与前沿 ”，草案

— 卡韦
source

L C^{0}

$LC^0$

A C^{0}

$AC^0$

k

$k$

k

$k$

d

$d$

d

$d$

k

$k$

n

$n$

Ω (n^{k / 4})

$\Omega(n^{k/4})$

A C^{0}

$AC^0$

n^{k}

$n^k$

k

$k$ ）实际上是无限的。

— Srikanth

我更新了答案，这要归功于Alessandro，domotorp，Robin，Srikanth和Stasys。

— 卡夫

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

P_{k}

$P_k$

k

$k$

A C^{0}

$AC^0$

2^{k} n^{O (1)}

$2^kn^{O(1)}$

A C^{0}

$AC^0$