Beigel-Tarui对ACC认证的改造

我正在阅读Arora和Barak的Computational Complexity一书中关于NEXP的ACC下限的附录。 http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf 关键引理之一是从 $ACC^{0}$ 电路到具有多对数度和拟多项式系数或等价整数的整数的多项式多项式的转换电路类 $SYM^{+}$ ，这是深度两个电路的类，其深度在底数级上具有多对数扇入的近似与门，而在对数级上具有对称门。

在教科书的附录中，假设门集由OR，mod $2$ ，mod $3$ 和常数组成，则此转换分为三个步骤 $1$ 。第一步是将“或”门的扇入减小为对数顺序。

使用勇士-瓦齐拉尼隔离引理，作者获得该给定的或门上形式的输入，如果我们接是成对独立散列函数，从至，则对于任何非零至少以概率在 $2^{k}$ $OR (x_{1},...,x_{2^{k}})$ $h$ $[2^{k}]$ $\{ 0,1 \}$ $x \in \{0,1\}^{2^{k}}$ 它会认为。 $1/(10k)$ $\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$

不是的概率至少？似乎是弱下界。 $\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$ $1/2$ $1/10k$

第二步是移至算术门并向下推乘法。在这一步中，我们将具有给定二进制输入字符串的布尔电路转换为具有整数输入的算术电路。

在这里，他们注意，被替换为，和被替换为 $OR(x_{1},...,x_{k})$ $1-x_{1}x_{2}\cdots x_{k}$ $MOD_{p}(x_{1},...,x_{k})$ 使用费马小定理。 $(\Sigma_{i=1,...,k} x_{i})^{p-1}$

为什么这种替换会产生等效的电路？ $SYM^{+}$

— 卑鄙的
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我不明白下面的表达式“概率至少为1 /（10k）会表示...。”您是否缺少等号？另外，您能引用此证明出现的页码吗？

— 罗宾·科塔里

的概率是否至少为1/2？似乎是一个较弱的下限。 $\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$ $1/(10k)$

实际上答案是否定的。（这将是的概率至少保持，如果我们用一个工作 1-偏移散列家庭，并且实际上使用 1-偏移散列函数提供了一种改善构造参数的方法，但成对独立性不一定是偏向的。） $\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$ $1/2-\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$

看来他们在这里错过了另一步骤。要直接应用Valiant-Vazirani，您还需要随机选择哈希函数的范围。而不是拾取随机成对无关，看来你应该选择随机，然后挑选随机配对无关 $h : [2^k]\rightarrow\{0,1\}$ $\ell \in \{2,\ldots,k+1\}$ $h : [2^k]\rightarrow \{0,1\}^{\ell}$ 。（在这里，我故意使用Arora-Barak关于Valiant-Vazirani的声明，请参见第354页。）为的数量。英勇-瓦齐拉尼说，当你已选择使得，则该概率（！以上整数）是至少。 $s$ $x_i=1$ $\ell$ $2^{\ell-2} \leq s \leq 2^{\ell-1}$ $\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} = 1$ $1/8$

因此，通过拾取随机和拾取随机成对独立，则必须概率至少该。为了模拟的随机选择在电路中，你可以简单地把在所有可能的 $\ell$ $h: [2^k]\rightarrow\{0,1\}^{\ell}$ $1/(8k)$ $\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$ $\ell$ $OR$ $\ell$ （其数量是在对数，毕竟），所以成功的概率变为至少 $2^k$ 试。因此，而不是具有与范围散列函数，则需要不同组的散列函数（具有不同范围的各组）中，用的散列函数在每组中。 $1/8$ $O(k\log s)$ $\{0,1\}$ $O(k)$ $O(\log s)$

为什么这种替换会产生等效的SYM +电路？

的SYM AND（即，SYM +）大小的电路本质上等价于具有多变量多项式至多单项式，查找表，以及计算 $K$ $h : \{0,1\}^n \rightarrow \{0,\ldots,K\}$ $K$ $g : \{0,\ldots,K\}\rightarrow \{0,1\}$ $g(h(x_1,\ldots,x_n))$ $f$ $g$ $h$

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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