嘈杂的布尔函数的硬度

令为n个布尔变量的布尔函数。让克（X ）= Ť ε（˚F ）（X ）是期望值˚F （Ý ）时ý从获得X通过翻转以概率每个坐标ε / 2。$f$$n$$g(x)=T_\epsilon (f) (x)$$f(y)$$y$$x$$\epsilon/2$

我对很难计算情况感兴趣。让我固定的“近似”一个概念（但可能有其它）：布尔函数ħ近似于克如果ħ （X ）= 1时克（X ）≥ 0.9和ħ （X ）= 0当克（X ）≤ $g$$h$$g$$h(x)=1$$g(x)\ge 0.9$$h(x)=0$$g(x)\le 0.1$一个计数参数（基于正率纠错码的存在）似乎表明存在布尔函数，对此任何此类近似都需要指数大小的电路。但是问题是，当起始于NP或其附近时会发生什么。$f$

Q1：是否有一个用NP电路（或P空间）描述的的例子，所以每个h都是NP硬的，或在某种程度上较弱。$f$$h$

要查看可能并不容易（我感谢约翰·哈斯特德关于它的有用的讨论），我们可以考虑其大小的集团的图形的属性ñ 1 / 4，随机输入，可以想象，这是很难检测是否存在较大的集团，但是这要通过在嘈杂的图中具有超过预期的大小log n的集团来体现。在这种情况下，任何h都可能是困难的（但无法证明，并且不会像准多项式电路所说明的那样困难）。$h$$n^{1/4}$$h$

问题2：如果开头的复杂度较低，那会是什么情况？（甲Ç 0，单调Ť Ç 0，甲Ç Ç等）$f$$AC^0$$TC^0$$ACC$

Q3：布尔函数的一些基本示例的情况如何。（该问题也可以扩展到实值函数。）

问题4：是否可以对统一（Turning Machine）计算模型正式提出上述问题？

更新：鉴于Andy的回答（嗨，Andy），我认为最有趣的问题是了解各种特定功能的情况。

更新另一个问题Q5 [单调函数的Q1]（同样考虑Andy的回答）。什么是如果情况是单调？我们是否仍然可以对NP完整问题进行可靠编码>$f$

对于问题1，答案为是，可以显示如下。（由于参数是统一的，并且将立即处理所有输入长度，因此我还将隐式地对Q4给出一个肯定的答案。）

修复所有NP完全语言，以及一系列好的二进制纠错码（例如，比率为1/4并从.1的错误分数中纠正）。令Ë Ñ Ç Ñ：{ 0 ，1 } Ñ → { 0 ，1 } 4 Ñ是用于长度的编码功能Ñ ; 我们使用这样的代码，其中E n c = { E n c n }可通过统一多项式时间算法计算。$L$$Enc_n: \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}^{4n}$$n$$Enc = \{Enc_n\}$

将定义为距离不超过.05 |的字符串z的集合。z | 从码字ý ∈ È Ñ Ç （大号）编码的一些元件大号。请注意，L '在NP中，因为您可以猜测并检查附近的代码字，解码后的单词以及NP证书中解码后的单词在L中的隶属关系。 $L'$$z$$.05 |z|$$y \in Enc(L)$$L$$L'$$L$

那么就可以说，就ε = .01而言，任何“近似” 都是NP-hard的。因为，如果我们考虑一个有效码字Ŷ = È Ñ Ç （X ）一些长度的4 Ñ，然后用概率1 - Ö （1 ）通过随机ε -perturbed版本ÿ '的ÿ，它将不同意ý在至多坐标的0.05分数，因此将与E n c的任何其他码字不一致$L'$$\varepsilon = .01$$y = Enc(x)$$4n$$1 - o(1)$$\varepsilon$$y'$$y$$y$大于 0.05的坐标。对于这样的 ÿ “我们有 Ÿ ' ∈ 大号'当且仅当 X ∈ 大号。因此，如果您认为 h是 L '的 ε平滑形式的任何近似值，则我们必须具有 h （y ）= L （x ）。由于 E n c是可有效计算的，这为我们提供了一种有效地将 L的隶属度问题简化为 h的隶属度问题的方法。所以$Enc_n$$.05$$y'$$y' \in L'$$x \in L$$h$$\varepsilon$$L'$$h(y) = L(x)$$Enc$$L$$h$是NP-hard。$h$

两个注意事项：

（1）以前在几篇论文中都使用过NP实例的纠错编码，特别是
D. Sivakumar：关于成员资格可比集。J.计算机 Syst。科学 59（2）：270-280（1999）。

（2）上面的论据当然没有说明任何NP问题的平均情况复杂性，因为纠错是在逐个实例的基础上进行的。