捕获P或NP的VO逻辑是否存在自然限制？

论文

• Lauri Hella和JoséMaríaTurull-Torres， 使用高阶逻辑计算查询，TCS 355 197–214，2006。doi：10.1016 / j.tcs.2006.01.009

提出了逻辑VO，可变阶逻辑。这样可以量化变量的阶数。VO非常强大，可以表达一些无法计算的查询。 （正如下面的Arthur Milchior指出的那样，它实际上捕获了整个分析层次结构。） 作者表明，仅通过对有序变量进行有界通用量化而获得的VO片段准确地表达了所有ce查询。VO允许阶变量在自然数范围内，因此限制阶变量显然是施加的自然条件。

是否有一个（好的）VO片段捕获P或NP？

作为类比，在经典的一阶逻辑中，允许对对象集进行量化给出了一种更强大的逻辑，称为二阶逻辑或SO。SO捕获整个多项式层次结构；这通常写为PH = SO。有很多SO捕捉重要复杂类限制的形式：NP = SO，P = SO-喇叭，和NL = SO-克罗姆。这些是通过对允许的公式的语法施加限制来获得的。$\exists$

因此，有直接的方法可以限制SO获得有趣的类。我想知道是否存在类似的VO直截了当的限制，大致上是P或NP表达水平的正确水平。如果不知道这些限制，我会对可能的候选人的建议感兴趣，或者在某些论点中为什么不存在这样的限制感兴趣。

我检查了引用该论文的（几篇）论文，并检查了Google和Scholar上显而易见的短语，但没有发现明显相关的内容。有关逻辑的逻辑比一阶函数更强大的大多数论文似乎都没有解决限制“合理”计算领域的限制，但是似乎满足于算术和分析类领域。我对搜索的指针或不明显的短语感到满意；这对于从事高阶逻辑工作的人可能是众所周知的。

注意：这并不是真正的回答问题，这只是一些评论作为答案。:)

$\exists$$PH$$P$$NP$

一个无限量词的存在是否足以捕获ce集？

问题是您可能希望该语言不包含其他符号，例如相等，加法，乘法（对吗？），如果我们通过MRDP定理，丢番图公式（在两个多项式相等之前的一阶存在量词）使用它们将捕获ce集。如果我们不允许在语言中使用这些符号，则问题会更加复杂，可以使用更高阶的量词来定义它们，但这会增加量词的复杂性。因此，如果我想简短回答您关于单个量词的问题，我不知道。

$AC^0$$AC^0$$c$$e$$x$

一些其他评论：

$AC^0$

对于信息，VO实际上比您声明的要强大。它包含整个分析层次结构（因此也包含整个算术层次结构）。结果没有发布，也没有提交到任何地方，但是您可以在我的页面www.milchior.fr/ho.pdf第7页第47页上找到它。

$\forall i \forall X^i\forall j\exists Y^j (X^i=Y^j)$$\forall i \forall X^i\forall i\exists Y^i (X^i=Y^i)$$i$$X$$^i$$X$

$\phi(i)$$i$$k$$i>k$$\phi(i)$$k$$\phi(i)$$\forall i \phi(i)$$\forall i < k \phi(i)$

另外，您当然可以通过限制接受的最大阶数来限制VO。但是随后您获得了“高阶”语言（HO），这可能不是您想要的。

为了回答您的评论，我想我应该再回答一个问题，仅谈谈Krom和Horn（也许我应该向CSTheory询问有关这些问题的问题）

我建议您阅读论文第34页第5.3节中有关在高阶逻辑中在Horn和Krom上遇到的问题。您将在“可变顺序”（这显然是“高阶”的超集）中遇到相同的问题。

我不知道您是否注意过，但是当一阶为通用时，SO（krom）等于P。的确，如果添加现有的一阶变量，则可以表达NP完全问题。（我不记得我以前的示例，如果需要，我可以尝试搜索它）

我不知道这种语法限制对于高阶或可变阶逻辑会变成什么...我的意思是，您也应该想出一种限制量词的好方法，因为仅限制无量词部分是没有用的（至少对于克罗姆公式而言）