在TCS中扮演重要角色的“无关”数学的例子？

请列举一些例子，其中数学中的一个定理通常不被认为是在计算机科学中首先被用来证明计算机科学的结果。最好的例子是那些不很明显的联系，但是一旦发现联系，显然是实现联系的“正确方法”。

这是TCS在古典数学中的应用问题的相反方向吗？

例如，请参阅“平面图中的格林定理和隔离”，其中，使用多元微积分的格林定理重新证明了隔离定理（使用技术证明是已知的）。

还有什么其他例子？

Maurice Herlihy，Michael Saks，Nir Shavit和Fotios Zaharoglou 因在研究分布式计算中的某些问题时使用代数拓扑而获得了2004年的Godel奖。

我有几年前与Noga Alon和Muli Safra合着的作品中的一个例子：

Noga使用代数拓扑定点定理证明了“项链分裂定理”：如果您的项链上有t型珠子，并且希望将其部分划分给b个人，那么每种人从每种类型中得到相同数量的珠子（假设b除以t），您总是可以在最多（b-1）t处切割项链来做到这一点。

我们使用该定理构建了一个组合对象，用于证明近似Set-Cover的硬度。

一些更多的信息在这里：http : //people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest.html

回想起来，这也许是显而易见的，但是我一直喜欢斯蒂尔，姚和本·奥尔对Oleinik-Petrovsky / Milnor / Thom定理（以实半代数集的Betti数为界）的应用，以证明其更低计算的代数决策树和代数计算树模型的边界。

我最喜欢的结果之一是在Lovasz的Kneser猜想证明中使用拓扑论证，以及在针对逃避性的强Aandera-Rosenberg-Karp猜想的Kahn-Saks-Sturtevant攻击中使用拓扑（和群论）方法。

Cohn-Kleinberg-Szegedy-Umans方法使用有限组表示理论进行矩阵乘法。他们表明，如果存在具有满足特定条件的对称组的阿贝尔花环的花环族，则存在二次复杂度的矩阵乘法算法。

代数组的表示理论也出现在Mulmuley和Sohoni的关于下界的几何复杂性理论方法中。尚不清楚这是否可以作为应用程序使用，因为这种方法尚未证明新的复杂性结果，但是至少在两个看上去完全无关的领域之间建立了有趣的联系。

$IP = PSPACE$

近似理论（通过简单的函数（例如低阶多项式）处理可能复杂或不自然的实值函数）在电路复杂度，量子查询复杂度，伪随机性等方面具有许多用途。

我认为，该领域最酷的工具应用之一来自Beigel，Reingold和Spielman的这篇论文，他们通过使用符号函数可以通过低逼近这一事实表明，复杂度类PP在交集下是封闭的。度有理函数。

Nisan和Szegedy和Paturi显示了通过低次多项式逼近对称函数的下界。此方法通常用于证明Quantum查询复杂度的下限。例如，请参阅Scott Aaronson的讲义。

另一个漂亮的想法：姚明使用最小极大值原理的想法，以及混合游戏具有均衡性（基本上是线性规划对偶性）的证明，以显示随机算法的下限（通过在确定性算法的输入上构造分布）。

定点定理无处不在...

$n$$O(\log n!)$比较，嗯）。这一事实的证明是通过高维多面体的几何形状进行的。具体来说，证明使用Brunn-Minkowski不等式。Matousek的《离散几何讲座》（第12.3节）中对此作了很好的介绍。原始证明是从这里开始的，由Kahn和Linial提供。

信息论在理论计算机科学中有许多用途：例如，证明局部可解码代码的下限（请参见Katz和Trevisan），在Raz的并行重复定理证明中，在通信复杂性方面（例如请参见线程）通讯压缩方面的工作，例如Barak，Braverman，Chen和Rao的相对较新的工作，以及那里的参考文献），还有更多工作要做。

Alon和Naor使用Grothendieck不等式证明了最大割问题的近似算法。我认为该主题还有后续作品，但我不是专家。

有趣的是，克莱夫，霍耶，墨粉和瓦特罗斯使用了相同的定理来分析量子异或游戏，而里纳尔和施莱布曼则用它来解决量子通信的复杂性。据我所知，85年代的Tsirelson发现了格洛腾迪克不等式与量子物理学基础之间的关系，但我提到的两个结果专门针对计算机科学。

巴林顿定理就是一个很好的例子：

$f$$d$$f$$4^d$

$S_5$

无耻的插件：在我与Moritz Hardt的工作中，使用各向同性猜想（通常是凸几何）来设计用于线性查询的近似最优微分私有机制。

为了部分回答S​​uresh的问题，我认为原始问题有些棘手，因为“通常不认为它适用于计算机科学”。随着时间的流逝，其中一些看起来本来是“不相关的”技术变得“正常”。因此，这些技术中最成功的方法（例如Kahn-Kalai-Linial中的Fourier分析，Linial-London-Rabinovich中的度量嵌入）不再是有效的答案。

加法组合器/数论在提取器文献中被大量使用。我认为最初的例子来自于注意到Paley图可以用作良好的提取器，并且加法数论中的一些开放性问题可能暗示更好的问题。我知道的最早参考文献是Zuckerman 1990（请参阅他的论文），但是在最近几年中，这是一个活跃的领域，TCS和加法组合器之间来回有趣。（其中一个亮点是Dvir对有限域Kakeya猜想的证明，但这当然是TCS对数学的贡献，而不是相反的。）先验的是，目前尚不清楚为什么这类数学问题，无论是求和还是乘积套，对于CS来说很重要。

Sleator，Tarjan和Thurston使用双曲几何证明了存在无限个成对的具有n顶点和旋转距离的二叉搜索树对2n-6。

$o(k^2)$

$k^2$

用于稀疏图的线性代数：

约书亚·D·巴特森（Joshua D.Batson），丹尼尔·A·斯皮尔曼（Daniel A. STOC 2009：255-262。

这可能会算，也可能不会算，但是最近Zermelo-Fraenkel与原子（ZFA）和Fraenkel-Mostowski（FM）集合论已应用于具有名称绑定的抽象语法的研究。ZFA于20世纪初被引入，是一种证明CH独立性的工具，后来被人们遗忘了，但在1990年代末，两位计算机科学家-Gabbay和Pitts-重新发现了ZFA，他们研究的是完全不相关的东西。

例如，请参见本调查文件。

Kahn和Kim在部分信息下将图熵应用于排序的方法（http://portal.acm.org/citation.cfm?id=129731）。他们给出了第一个多项式时间算法，该算法执行理论上比较最佳的信息（最大为常数）。本文是一门数学上的小型实地考察，它使用一些经典的组合论证以及凸几何，图熵和凸编程。最近有一种更简单的算法，但是我们现在仍然知道如何在没有图熵的情况下进行分析。

数论被用于开发RSA和其他公共密钥密码方案。

唐津乘法的发现令人惊讶。