最小化残余有限状态自动机

残留有限状态自动机（RFSA，在[DLT02]中定义）是NFA，具有与DFA相同的一些不错的功能。特别是，对于每种常规语言，总是存在规范的最小尺寸RFSA，并且与DFA一样，RFSA中每个州所识别的语言都是残差的。但是，虽然最小DFA状态与所有残差形成双射，但规范的RFSA状态与素数残差呈双射。这些可以成倍地减少，因此RFSA可以比DFA紧凑得多，可以表示常规语言。

但是，我无法确定是否存在一种有效的算法来最小化RFSA或硬度结果。最小化RFSA的复杂性是什么？

通过浏览[BBCF10]，这似乎不是常识。一方面，我希望这很困难，因为许多关于RFSA的简单问题，例如“这个NFA是RFSA吗？” 很难，在这种情况下是PSPACE完整的。另一方面，[BHKL09]表明，在Angluin的最小适度教师模型[A87]中可以有效地学习规范RFSA，并且有效学习最小RFSA和最小化RFSA似乎应该同样困难。但是，据我所知[BHKL09]的算法并不意味着最小化算法，因为反例的大小不受限制，并且不清楚如何有效地测试RFSA的相等性以模拟反例oracle 。例如，测试两个NFA是否相等是PSPACE-complete。

参考文献

[A87] Angluin，D.（1987）。从查询和反例中学习常规集。信息与计算，75：87-106

[BBCF10] Berstel，J.，Boasson，L.，Carton，O.和Fagnot，I.（2010）。自动机的最小化。的arXiv：1010.5318。

[BHKL09] Bollig，B.，Habermehl，P.，Kern，C.和Leucker，M.（2009年）。NFA的盎格鲁式学习。在IJCAI中，9：1004-1009。

[DLT02] Denis，F.，Lemay，A。和Terlutte，A。（2002）。剩余有限状态自动机。基金会信息，51（4）：339-368。

$\to$$A$$k$$k$$A$$\to$

$\to$$A_1,A_2,\ldots,A_n$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

$L$$k$$L$$A_i$$L$$k$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$$k+1$$k$$N$$L$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

$R$$S$$(x_i,y_i)$$i$$x_iy_i\in L$$i\neq j$$x_iy_j \notin R$$x_jy_i\notin R$

$S$$k$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$$x_i$$S$$N$$q_i$$x_i$$q$$x_i^{-1}L$$N$

$\to$$\to$$\to$$\to$

$N$

T. Jiang和B. Ravikumar。最小的NFA问题很难解决。SIAM Journal on Computing，22（6）：1117–1141，1993年12月。

赫尔曼·格鲁伯（Hermann Gruber）和马库斯·霍尔泽（Markus Holzer）。寻找不确定状态复杂性的下界是困难的。在Oscar H.Ibarra和Zhe Dang的编辑中，第10届语言理论发展国际会议（DLT 2006），美国圣塔芭芭拉（CA），《计算机科学讲义》第4036卷，第363--374页。施普林格，2006年6月。

赫尔曼·格鲁伯（Hermann Gruber）和马库斯·霍尔泽（Markus Holzer）。寻找不确定状态复杂性的下界是困难的。ECCC TR06-027技术报告，关于计算复杂性的电子研讨会，2006年。