检测功能和实现相似的电路

令为布尔变量的向量。令为上的两个布尔电路。假设在以下情况下与相似： $x=(x_1,\dots,x_n)$ $C,D$ $x$ $C$ $D$

$\Pr[C(x) \ne D(x)]$ 当 $x$ 从中随机地均匀绘制时，呈指数 $\{0,1\}^n$ （换句话说，它们具有几乎相同的功能）；和，
$C,D$ 的图形编辑距离相差很小（它们的编辑距离远小于电路的大小，例如 $O(1)$ 或一些小常数），这意味着几乎所有门和导线都 $C$ 匹配对应的门和导线 $D$ ，仅添加/删除/更改了几个门。

我的问题：给我一个电路 $C$ ，我想知道是否存在一个类似于但不等于的电路（即，存在使得）。 $D$ $C$ $C$ $x$ $C(x)\ne D(x)$

谁能提出解决这个问题的算法？

如果有帮助，我们可以将注意力集中在小于给定电路电路 $D$ 上（即，我们想知道是否存在一个电路使得小于，类似于，并且存在这样）。 $C$ $D$ $D$ $C$ $D$ $C$ $x$ $C(x)\ne D(x)$

如果有帮助，则可以额外地假设我们给出已知良好的测试用例 $x^1,\dots,x^m,y^1,\dots,y^m$ ，使得 $C(x^i)=y^i$ 为所有 $i$ ，我们可以进一步将注意力集中在仅电路 $D$ ，使得所有。 $D(x^i)=y^i$ $i$

这是由实际应用引起的，因此，如果您不能解决此问题，请随时解决任何变体或有趣的特殊情况。例如，可以随意使用任何方便的方式实例化任何参数或阈值。您可以假设电路不是太大（多项式大小或其他大小）。可以用其他一些接近实现的方法来替换图形编辑距离。此外，在实践中，SAT解算器通常在实践中出现的结构化电路上出奇地有效，因此将SAT解算器作为子例程/ oracle调用可能很好（至少，如果要在派生的SAT实例上调用它）来自像的电路）。 $C$

或者，由于缺乏任何算法，我也会对存在问题感兴趣：对于“平均”电路，存在满足所有条件的的概率是多少？（我希望这种可能性非常低，但是我不知道是这种情况。） $C$ $D$

实际应用是测试电路是否包含恶意后门/隐藏的复活节彩蛋。这样的事情可能会被插入的假设是这样的。我们从“黄金”电路开始，该电路计算所需的功能并且没有隐藏的后门。然后，对手使一个小的变化，以引入隐藏后门，获得改性电路。后门的目的是以某种方式更改由计算的函数。如果不太小，则可以通过随机测试合理地检测到该变化，因此对手可能会尝试保持 $C$ $D$ $D$ $C$ $D$ $\Pr[C(x) \ne D(x)]$ $\Pr[C(x) \ne D(x)]$ 很小。同样，如果在很多地方都与不同，则可能会通过对电路的随机检查注意到这一点，因此对手可能会尝试尽量减少更改次数。（而且，可能会有一组表示所需功能实例的对测试套件，因此我们知道，无论“黄金”电路是什么，它都满足所有的。）最后，我们给出的电路（但不是“黄金”电路），我们想知道是否可能会有一些修改后的版本 $C$ $D$ $x^i,y^i$ $D$ $D(x^i)=y^i$ $i$ $C$ $D$ $C$ $D$ ，在此处进行了修改以引入这种隐藏的后门。

sat application-of-theory

— DW
source

电路的输入有多少位？如果足够小，则进行详尽的测试可能是有意义的。

— 2013年

@AndrásSalamon：可悲的是，在实践中（在我所考虑的应用中），电路的输入数量足够大，无法对所有可能的输入进行详尽的测试。我很欣赏这个想法！

n

$n$

2^{n}

$2^n$

— 2013年

已经使用遗传算法来凭经验攻击此类问题。在这种情况下，您可以尝试使用您陈述的算法（随机测试）。同样，似乎您根本没有描述电路中的“后门”是什么（这似乎与密码学有一些未说明的联系），但是提供一些动机的尝试……一个紧迫的问题似乎是对手怎么可能插入一些后门，同时通过随机测试规避检测？但总体情况似乎尚未完全定义。

— vzn

@vzn，黄金电路描述了设备的预期功能。假设攻击者可以选择/影响输入位中的100。我们担心中存在一个隐藏的后门，其工作方式如下：如果攻击者在其输入上提供了不可思议的100位值，则后门电路会计算出错误的输出（具有悲惨的影响），但否则行为与。这将使攻击者可以在其选择的时间触发悲剧，但很难通过随机测试来检测（因为只有的输入会触发悲剧）。

D (x)

$D(x)$

n

$n$

C

$C$

C

$C$

C

$C$

D

$D$

1 / 2^{100}

$1/2^{100}$

— DW

这个问题似乎与SAT的“骨干”有关。也可以在cnf与dnf转换/错误上看到这个问题，这可能是一种自然/正式的方式来量化您未正式量化的“相似性”。攻击者通过添加门禁只能“翻转”对错的“黄金”结果吗？即，听起来像是 -xor-的问题。

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

— vzn

这只是阅读问题后我立即想到的扩展评论：

假设您有一个3SAT公式其中包含变量并且是相应的电路； $\phi$ $n$ $x_1,...,x_n$ $C$
建立一个新的电路加入变量，以及足够的大门和与原始的输出新的变量（）; $C'$ $m = n^k$ $y_1, y_2, ...,y_{n^k}$ $m$ $C$ $C' = \phi \land y_1 \land ... \land y_m$
从构建一个新电路，使用与非门将其输出强制为0（） $D'$ $C'$ $D' = C' \land \neg C'$

如果无法满足，则和是等效的，否则当满足公式且所有时，它们将不同，但是您可以选择足够大的以使的可能性非常小。 $\phi$ $D'$ $C'$ $x_i$ $y_i = 1$ $m$ $\bigwedge y_i = 1$

因此，如果您有一个有效的算法来解决问题，则可以有效地解决3SAT实例。

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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