计算最密集的未成年人的复杂性

考虑以下问题。
输入：无向图。 输出：图，它是的所有次曲面中边缘密度最高的，即比率最高 。H G G | E （H ）| / | V （高）$G=(V,E)$
$H$$G$$G$$|E(H)|/|V(H)|$

这个问题已经研究过了吗？它可以在多项式时间内求解吗？还是NP难解？如果我们考虑使用受限图类，例如排除未成年人的类，该怎么办？

如果我们要求最密集的子图，则该问题可以在多项式时间内解决。如果我们添加一个附加参数并要求具有个顶点的最密集子图，则问题是NP完全的（这很容易从 -clique 还原）。ķ $k$$k$$k$

好的，因为这里仍然没有答案的方法，所以让我至少做一些简单的观察：

对于有界树宽的图，应该有可能通过树分解中的常见动态程序找到最密集的次要（或什至具有指定数量的边和顶点的次要），其中动态程序的每个状态都跟踪生活在分解的子树中的次要部分中的边和顶点的数量，参与次要的分解包中顶点的子集，该子集中的顶点之间的等价性是由整体的次要收缩引起的图，以及由子树中未成年人部分的收缩引起的这种等价关系的细化。

如果是这样，则可以得出结论，当密度低于3时，应该有可能在多项式时间内找到最密集的次要（常数取决于该密度与3的接近程度）。因为，其最密集的未成年人的密度为具有平面禁止的未成年人，因此有界树宽。$\le 3-\epsilon$

我在Bodaender等人的论文中发现了一个密切相关的问题。等 。他们考虑了一个称为收缩简并性的问题，即，对于给定的图和决定所有未成年人是否都是简并的问题。现在，图的所有子图上的边缘密度和退化都非常相似（如果图包含平均度的子图，那么它还包含最小度的子图），我认为可以对其证明进行修改以显示寻找最密集的未成年人的问题也是NP完全的。ķ ∈ Ñ ģ ķ d d /$G$$k\in \mathbb{N}$$G$$k$$d$$d/2$

实际上，我对本文非常满意，因为简并性要好得多-只有自然数可能会显示为简并性，而子图的平均度可能是任何有理数。此外，本文还使用罗伯逊和西摩的图小理论为固定参数的可延展性提供了非常简短的证明。收缩简并性最多为的图的类别在带未成年人的情况下是封闭的，因此由排除的未成年人的有限集来描述。因此，对于固定我们有一个算法来测试在时间运行的类中的包含。k O （n 3$k$$k$$O(n^3)$