可进行预处理的快速稀疏布尔矩阵乘积

将两个非常稀疏的布尔矩阵相乘的最实用的算法是什么（例如，N = 200，并且只有大约100-200个非零元素）？

实际上，我的优势在于，当我将A乘以B时，B是预定义的，并且我可以对它们进行任意复杂的预处理。我也知道乘积的结果总是和原始矩阵一样稀疏。

事实证明，“天真”算法（逐行扫描A；对于A行的每1位，或与B对应行的结果进行扫描）非常高效，仅需几千条CPU指令即可计算单个产品，所以要想超越它并不容易，并且只能以一个恒定的因子被超越（因为结果中有数百个一位）。但是我没有失去希望，并向社区寻求帮助:)

— k
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我怀疑我们能否在每个输出字中击败10个常量的机器指令。输出的某种隐式形式是否可以接受？

— 沃伦·舒迪

是的，只要可以进一步乘以Bs。

— jkff

定义矩阵乘法所基于的加法和乘法运算（针对位）是什么？您的幼稚算法建议答案分别是“或”和“与”，但这是一个很奇怪的矩阵乘法，因为它们没有定义字段。您是说“异或”而不是“或”？

— 沃伦·舒迪

不，我的意思是“或”和“与”。我不需要定义字段的操作，这实际上是一个类似于图可达性的问题（我正在计算几个一对多函数的组成）。

— jkff

Answers:

我不愿回答这个问题，因为据我所知，唯一的理论结果就是我的名字...

从理论上讲，可以预处理一个密集的 ×布尔矩阵以便与稀疏矩阵矢量乘法（在OR和AND的半环上）比朴素的运行时间快。在实践中可能需要大量的黑客攻击才能实现，但我确实认为，对于足够大的和正确的实现，它在实践中会很好。 $n \times n$ $A$ $A$ $n$

（注意：此算法仅在一个矩阵密集而另一个矩阵稀疏的情况下才真正有用。这种情况会出现很多，例如，当计算稀疏图的传递闭包时，传递闭包矩阵最终将变得密集与原始邻接矩阵进行比较。）

纸是

Guy E. Blelloch，弗吉尼亚州Vassilevska，Ryan Williams：稀疏图问题的新组合方法。ICALP（1）2008：108-120

并且本文的相关结果是，对于每个，都有一个时间算法，给定 0-1矩阵，以下操作为支持的： $\varepsilon > 0$ $O(n^{2+\varepsilon})$ $n \times n$ $A$

-对于只有非零的任何向量，可以在时间中计算，其中，是满足。（一个不错的设置是和，因此运行时间约为对于任何所需常数。 $v$ $t$ $A v$ $O(n(t/k + n/\ell)/\log n)$ $\ell$ $k$ ${\ell \choose k} \leq n^{\varepsilon}$ $\ell=\log^c n$ $k=\varepsilon(\log n)/\log \log n$ $nt/\log n + n^2/\log^c n$ $c$

-对行和列更新可以在时间内计算。 $A$ $O(n^{1+\varepsilon})$

我们使用此数据结构为稀疏未加权图中的APSP提供了更快的理论算法。

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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我刚刚注意到，您还假设矩阵乘法的输出也很稀疏。在那种情况下，甚至有更快的算法。在网络上搜索“输出敏感矩阵乘法”。

— 瑞安·威廉姆斯

瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）-我有一个简单的问题：您是否知道，或者您是否探索过任何可以推广稀疏 -1，0，1值矩阵的方法（而不是简单的布尔值）？

{- 1, 0, 1}

$\{-1, 0, 1\}$

— 亚历山德拉·卡萨涅

我认为您所说的是一个“超稀疏”矩阵（nnz <n）。几年前，我写了一篇关于如何将它们相乘的论文。本质上，它是外部产品的结合，具有巧妙的多路合并功能，从而消除了中间三元组的实现。

Buluc和Gilbert，IPDPS 2008：http：//gauss.cs.ucsb.edu/publication/hypersparse-ipdps08.pdf

— 艾登·布卢克（Aydin Buluc）
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