高尔人“离散的鲍雷尔确定性”方法

高尔斯（Gowers）最近概述了一个问题，他称之为“离散的Borel确定性”，其解决方案与证明电路下限有关。

1. 您能否提供针对复杂性理论家的受众量身定制的方法的摘要？

2. 这种方法需要证明什么，包括重新证明已知的下界？

让我总结一下我对该方法的动机的理解。请注意，我对Borel确定性这个概念还很陌生，而且根本不是集合论的专家。所有错误都是我的。而且我不确定阅读这本书比阅读高尔斯的帖子好多了。

我认为Gowers想到的不是Borel确定性定理的最终类似物，而是以下内容的最终类似物：Borel确定性源于ZFC，而分析游戏的确定性要求存在（基本上）可测量的基数。我将非常简短地描述我们正在谈论的游戏以及Borel的确定性，然后将其与证明下限的方法联系在一起。一个非常高级的想法是认为该属性“允许Borel确定工作的最终证明”，可以将P \ poly与NP分开。

我们想到两个I和II玩家轮流“玩”一个整数的游戏。本场比赛的推移永远，所以他们产生序列。该游戏是由获胜集合定义甲⊆ Ñ Ñ（即一组序列）。如果X ∈ 一则球员，我赢了，否则玩家II胜。$x= x_1, x_2, \ldots$$A \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$

确定玩家I或玩家II是否具有获胜策略的游戏：这是一种根据到目前为止的比赛决定下一局的方式，以确保获胜。事实证明，是否确定所有游戏与设定论的基础有密切联系（如果您相信选择公理，则不是）。在任何情况下，当实际上被确定游戏之一简单的例子是，当处于上积空间开放Ñ Ñ，这是说的一个奇特的方式成员X ∈ 阿可以仅基于有限数量的元件来决定$A$$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$$x$。例如，如果我是第一个玩偶数游戏的玩家，我就赢了。的确定的游戏另一简单的实例是封闭的游戏，即游戏其中可以基于一个有限子序列来决定X。封闭式游戏是指将玩家角色颠倒的开放式游戏。$x \not \in A$$x$

现在我们可以讨论Borel的确定性，在我尝试将其与电路和复杂性联系起来之后。Borel集是可以通过重复应用可数数目的并集和交集而从开放集和封闭集导出的集。您应该将开放集和封闭集视为基本集，而Borel集则是从基本集派生而来的，这些基本集在每个级别中使用几个级别的“小”（=可数）简单操作。事实证明，您可以在ZFC中证明Borel集已确定，并且从某种意义上讲，这是您可以做的最好的事情。

我认为高尔斯（Gowers）在这里画的比喻是，Borel集就像小型电路。在有限的世界中，我们取代“宇宙” 由超立方体{ 0 ，1 } Ñ。我们的基本组成为立方体的小面：{ X ∈ { 0 ，1 } Ñ：X 我 = b }为b ∈ { 0 ，1 } ; 这些等同于文字X 我和ˉ X$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$\{0,1\}^n$$\{x \in \{0,1\}^n: x_i = b\}$$b \in \{0,1\}$$x_i$$\bar{x}_i$。您可以将文字的AND和OR编写为此类集合的并集和交集。因此，对于一个布尔函数，能够产生˚F - 1（1 ）出来的小号工会和的基本组交点相当于具有尺寸小号用于电路˚F。$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$$f^{-1}(1)$$s$$s$$f$

让我谈谈分析集。一个分析集是一组的Borel的投影：如果是波雷尔集，则Ť = { X ：∃ Ý （X ，ÿ ）∈ 小号}解析。通过我们在Borel集和小电路复杂度函数之间的对应关系，解析集就像NP / poly。$S \subseteq X \times Y$$T = \{x: \exists y\ (x,y) \in S\}$

现在，他从Borel确定性证明中汲取灵感，提出了一个属性（在Razborov-Rudich意义上），以区分小电路复杂度的功能和大电路复杂度的功能。当然，希望是该物业避免了自然证明的障碍。

马丁关于Borel确定性的证明使用了概念上非常整洁的方法：马丁表示，每个Borel游戏都是在地图下的开放（实际上是clopen）游戏的图像，因此$\pi$$\pi$保留获胜策略-我们称其为“提升”。因此，马丁所展示的是，每场Borel游戏都是以获胜组合为基本组合的游戏形象。由于公开游戏很容易确定，因此证明了Borel的确定性。证明是归纳的，基本情况表明可以解除封闭的游戏。重要的是，归纳法的每个步骤都会“炸毁”整个宇宙：要摆脱Borel场景构建的一个层次，就需要将游戏提升到整个游戏范围，而这个游戏本质上就是原始游戏的宇宙力量。有趣的是，这是不可避免的：需要更多关卡定义的Borel集只能运用于更大的宇宙上的游戏。解析集要求的宇宙是如此之大，以至于它们的存在需要大的基数公理。

从中汲取灵感，高尔斯制定了一个游戏，其中玩家I和玩家II必须共同指定一些；如果f （x ）= 1，则I玩家获胜；否则，II玩家获胜。玩家I可以指定坐标的前半部分，玩家II可以指定后半部分。直觉现在是对应于简单的游戏˚F，即˚F小电路复杂，应允许马丁风格提升到相对小宇宙，就像博雷尔做游戏。另一方面，随机f应该需要双指数大小的宇宙，希望NP-hard f也应该如此，因为它们将对应于解析博弈。$x$$f(x) = 1$$f$$f$$f$$f$

让我更具体地讲一下马丁式升降机是什么，但请查看高尔斯的技术定义。甲马丁式（在高尔斯的术语，‘拉姆齐’）电梯的电梯，指定某些的游戏由坐标，其中坐标Ú是宇宙和潜在地大于2 Ñ，但现在的获胜条件是很简单：玩家I或II获胜取决于y的单个坐标值。正如马丁的证明一样，升降机必须保留获胜的策略。$y \in U$$U$$2^n$$y$

希望这样可以避免自然证据壁垒是基于这样的直觉，即“具有马丁风格的小宇宙”属性可能不容易计算。但是目前还不清楚奇偶校验功能是否可以提升到一个小的宇宙。我担心与Borel集的恰当比喻可能是AC0中的函数：为奇偶校验找到一个小的提升将至少消除这种担忧。$f$