“第二个X是NP完全的”是否意味着“ X是NP完整的”？

“第二个 ”问题是决定是否存在与问题实例的某些给定解决方案不同的另一种解决方案的问题。 $X$

对于某些问题，第二个解决方案版本为（确定存在部分拉丁方形完成问题的另一种解决方案），而对于其他一些问题，则是微不足道的（第二个NAE SAT）或不能为普遍认为的复杂度猜想下的（三次哈密顿循环在立方图中）。我对相反的方向感兴趣。 $NP$ $NP$ $NP$

我们假设一个自然问题那里是自然有效的验证，用于验证的天然有趣的关系，其中是输入实例和是成员的短见证中。所有证人与验证人是无法区分的。证人的有效性必须通过运行自然验证程序来确定，并且它不了解任何正确的证人（注释中的两个示例都是定义上的解决方案）。 $NP$ $X$ $(x, c)$ $x$ $c$ $x$ $X$

对于所有“自然”问题 “第二个是NP完全的”是否意味着“ 是NP完全的” ？ $X$ $X$ $X$

换句话说，是否存在任何“自然”问题导致这种暗示失败？ $X$ 。或等效地，

有没有“天然”的问题在，不知道是 -complete但其第二问题是 -complete？ $X$ $NP$ $NP$ $X$ $NP$

编辑：感谢Marzio的评论，我对人为的反例不感兴趣。我只对与上述相似的NP完全问题自然而有趣的反例感兴趣。可接受的答案可以是上述含义的证明，也可以是针对自然，有趣和众所周知的问题定义的反例“第二个X问题” 。 $X$ $NP$ $X$

编辑2：感谢大卫Richerby了富有成果的讨论，我已经编辑了问题的重点，我的兴趣只在自然的问题。 $X$

$NP$ $NP$ $NP$

cc.complexity-theory unique-solution

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
source

评论不作进一步讨论；此对话已转移至聊天。

— 比昂·乔斯·汉森（BjørnKjos-Hanssen）

您的EDIT 3和EDIT 1似乎没有对齐。如果您希望这是一个通用结果，对简化NP完整性证明很有用，那么您也不能只说“非人为”反例。同样，有一个“自然/有趣”的定义，这不是基于个人观点也是有用的。

— 克里斯·杰斐逊

Answers:

没有，

考虑问题“找到整数S的总和为0的子集”。

这个问题很简单，因为可以返回空集。

但是，在返回空集之后找到第二个解决方案是众所周知的子集和问题，众所周知这是NP完全的。

— 克里斯·杰斐逊
source

除非您可以定义“非自然”问题，否则都没有关系。人们定义了数百种问题变体，例如子集和和SAT。

— 克里斯·杰斐逊

@Mohammad：这是另一个反例；我让你来决定它是否自然：一个双子博弈总是具有至少一个纳什均衡，而决定一个双子博弈是否具有一个以上纳什均衡是NP难的[Gilboa and Zemel，GEB 1989] 。该构造采用SAT公式f，并产生具有一定已知形式的Nash平衡的博弈，该博弈始终存在，因此，如果公式f是可满足的，则该博弈具有第二个平衡。

— 拉胡尔萨瓦尼

f : {0, 1, 2, \dots, 2^{n} - 1} \to {0, 1}

$f : \{0,1,2,\ldots,2^n-1\} \to \{0,1\}$

f (0) = 0

$f(0) = 0$

f (2^{n} - 1) = 1

$f(2^n-1)=1$

k

$k$

f (k) = 0

$f(k) = 0$

f (k + 1) = 1

$f(k+1) = 1$

NP完整并不意味着所有实例都是困难的，只是有些困难。子集和有很多琐碎的事例（例如，所有问题都包含1和-1）和许多简单的SAT问题（例如，2 SAT），但是SAT总体上仍然是NP完全的。

— 克里斯·杰斐逊

答案必须是整数S的子集。{}是S的子集，因为空集是所有集合的子集。{ϕ}不是S的子集，因为S不包含ϕ

— Chris Jefferson

$ASP$ $NP$

$NP$

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
source

您的问题是第二个解决方案的NP完整性是否意味着NP完整性。正如您对问题的评论所指出的那样，它们显示的内容较弱，它们需要ASP完整性，因为NP完整性还不够。

— domotorp 2014年

如果有人读过这个，这个答案是错误的。很容易产生一个问题，其中Second X是NP完全的，但是X不是NP完全的。例如（如在上面的评论中讨论的），找到整数集的子集总和为0的问题是Second X NP-complete，因为一旦我们拒绝空集的简单第一个解决方案，它就是NP-complete 。

— 克里斯·杰斐逊

Π

$\Pi$

Π_{[2]}

$\Pi_{[2]}$

Π

$\Pi$

Π

$\Pi$

Π_{[2]}

$\Pi_{[2]}$

Π_{[2]}

$\Pi_{[2]}$

Π

$\Pi$

— Sasho Nikolov

在讨论进行中，有人问一个问题，回答然后接受，这有点奇怪。

— Chandra Chekuri，

@ MohammadAl-Turkistany我的评论是，您的回答似乎已经倒退了逻辑，没有回答您自己的问题。关于克里斯的例子，我什么也没说（在我看来，这很好，但我不想在评论中加入该论点）。

— Sasho Nikolov