具有无界分数超树宽度的CSP

$\acute{\rm a}$^ h ∈ P 牛逼我中号$H$$H$$\in PTIME$

定义等

有关标准树分解和树宽的详细信息，请参见此处（提前感谢JeffE！）。

令$H$为一个超图。

然后对于一个超图和一个映射，γ ：È （ħ ）→ [ 0 ，∞ $H$$\gamma : E(H) \rightarrow [0,\infty)$

$B(\gamma) =$ { }。$v \in V(H) : \sum_{e \in V(H), v \in e} \gamma(e) \ge 1$

另外，让weight（）=。＆Sigma; è ∈ È γ （É $\gamma$$\sum_{e \in E}\gamma(e)$

那么的分数超树分解 是一个三元组，其中：（Ť ，（乙吨）吨∈ V （Ť ），（γ 吨）吨∈ V （Ť ）$H$$(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$

• $(T, (B_t)_{t \in V(T)})$是树分解$H$，和
• $(\gamma_t)_{t \in V(T)}$是从$E(H)$到$[0, \infty)$ st每$t \in V(T), B_t \subseteq B(\gamma_t)$。

那么我们说的宽度的是 {重量（\ gamma_t），叔\在V（T） }中。$(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$$\max$$(\gamma_t), t \in V(T)$

最后，的分数超树宽度 $H$，FHW（$H$），是宽度超过的所有可能的分数超树分解的最小$H$。

题

如上所述，如果CSP的基础图的分数超树宽度由一个常数限制，则存在多项式时间算法来求解CSP。但是，在链接的文件末尾，尚有一个尚待解决的问题，即是否存在具有无界超树宽度的多项式时间可解的CSP实例族。（我还要指出，在的假设下，无论是有界树宽还是无界树宽（ACM引文），这个问题都得到了完全解决。）另外，我相对不了解此子字段的一般状态，我的问题是：$FPT \ne W[1]$

是什么知道关于在无界分数超树宽图的CSP的（中）易处理性？

您链接到两篇都带有推测的论文。我想您的意思是Grohe 2007年的猜想。

这个问题在2008年得到了回答：

定理5. CSP（C，_）在NP中，但都不在P中，也不在NP完全中（除非P = NP）。此外，可以在确定的多项式时间内确定集合C。$_0$$_0$

• 曼努埃尔Bodirsky和马丁高仪，非二分法在约束满足复杂性，ICALP 2008 DOI：10.1007 / 978-3-540-70583-3_16（PDF）

这个想法是通过使用Ladner为他的定理引入的相同延迟对角化技术来消除CLIQUE实例大小的漏洞。请注意，集合C包含任意大的集团，并且 -clique 的分数超树宽度为。因此，可能具有中等复杂度的CSP（A，_）形式的CSP，其中A具有无限制的分数超树宽度。这回答了格罗的否定猜想。$_0$$n$$n/2$

在同一个会议上，Chen，Thurley和Weyer的论文得出了相似的结果，但是这需要强大的嵌入性，因此从技术上讲，它不是正确的猜想形式。

• Chen Yijia Chen，Marc Thurley和Mark Weyer，了解诱导子图同构的复杂性，ICALP2008。doi ：10.1007 / 978-3-540-70575-8_48（PDF）

最后，任何类的CSP实例都可以转换为具有最坏情况的分数超树宽度的表示形式。在许多情况下，此变换的大小是多项式有界的，可以在多项式时间内完成。这意味着很容易生成具有无界分数超树宽度，甚至是模同态等效物的CSP。这些CSP不会采用CSP（A，_）的形式，因为目标结构是特殊的，但是它们确实提供了一个整洁的理由，即仅通过限制源结构定义的CSP并不是那么有趣：通常只是通过更改表示形式来隐藏CSP实例的树状结构太容易了，因此源结构具有较大的宽度。（这将在我的论文的第7章中进行讨论。）