TCS之外的复杂性理论猜想的数学含义

您是否知道复杂性理论中（标准）猜想在数学的其他领域（即理论计算机科学之外）的有趣结果？

我希望在以下情况下回答：

• 复杂性理论猜想尽可能地笼统和标准；我也对特定问题的严重性所产生的后果感到满意，但如果人们普遍认为这些问题很难解决（或者至少已经在多篇论文中进行了研究），那将是很好的。

• 暗示的是一个无条件地不正确的陈述，或者其他已知的证明要困难得多

• 连接越多越好；特别是，其含义不应该是关于算法的明确声明

只要飞猪来自复杂性理论，而唱歌的马来自计算机科学以外的一些数学领域，“如果猪可以飞，马就会唱歌”的关系也可以。

从某种意义上说，这个问题与我们对计算机科学中数学的令人惊讶的使用所提出的问题 “相反” 。迪克·利普顿（Dick Lipton）的博客恰好遵循这些思路：他写了关于因数分解具有很大电路复杂性的猜想的后果。结果是某些二阶方程方程没有解，这种陈述很难无条件地证明。该帖子基于与Dan Boneh的合作，但我找不到论文。

编辑：正如乔什·格罗霍（Josh Grochow）在评论中指出的那样，他关于TCS在经典数学中的应用的问题密切相关。一方面，我的问题是允许的，因为我不坚持“古典数学”的限制。我认为更重要的区别是，我坚持要从复杂性猜想到TCS之外的数学领域中的陈述，都经过证明的含义。乔什（Josh）问题的大多数答案都不是这种类型，而是给出了由TCS开发或启发的经典数学中有用的技术和概念。然而，至少一个答案到Josh的问题是一个完美的答案，我的问题：迈克尔·弗里德曼的论文这是由与我的问题相同的问题所激发，并证明了结理论中的一个定理，条件是。他辩称，该定理似乎超出了打结理论的现有技术范围。根据Toda定理，如果则多项式层次结构会崩溃，因此该假设非常合理。我对其他类似结果感兴趣。P ＃P = N $\mathsf{P}^{\#P} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^{\#P} = \mathsf{NP}$

这是图论的另一个例子。图次要定理告诉我们，对于在未成年人下关闭的每类无向图，都有一个有限的障碍集使得图在当且仅当它不包含的图形作为次要图形时。但是，图次要定理本质上是非构造性的，并且没有告诉我们这些障碍集有多大，即，对于的特定选择，它包含多少个图。ø b 小号（ģ ）ģ Ô b 小号（ģ ）$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$

在《太多次要障碍物》中，迈克尔·J·迪尼恩（Michael J. Dinneen）指出，在一个合理的复杂性-理论猜想下，此类障碍物集合中若干个的大小可以显示为很大。例如，考虑的参数化类属的曲线图中的最。随着增加，我们可以预期的障碍集将变得越来越复杂，但是多少呢？Dinneen证明，如果多项式层次结构没有崩溃到其第三级，那么就不会有多项式使得的障碍物数目受 ķķ ø b 小号（ ģ ķ）p Ô b 小号（ ģ ķ）p（ķ） ø b 小号（ g ^ 0）={ ķ 5， ķ 3 ，3 } g ^ ķ ķģ∈ ģ$\mathcal{G}_k$$k$$k$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p(k)$。由于具有零属（即平面）的次要障碍物的数量仅为两个（），因此该超增长并不是立即显而易见的（尽管我相信可以无条件地证明这一点）。关于Dinneen的结果的好处是，它适用于梗阻组对应尺寸的任何参数设置未成年人理想的为其确定的最小为此是NP-硬; 在所有这些参数化次要理想中，障碍物集合的大小必须以多项式增长。 $\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_0) = \{K_5, K_{3,3}\}$$\mathcal{G}_k$$k$$G \in \mathcal{G}_k$

这是一个例子：Arora，Barak和Ge的金融产品中的计算复杂性和信息不对称性表明，对衍生产品正确定价可能具有计算上的难点（即NP难点）-他们使用最密集的子图作为嵌入式难点问题。

同样的道理，更早的是Bartholdi，Tovey和Trick着名的关于操纵选举的论文。

正如Sasho所建议的那样，我对“ TCS在古典数学中的应用？ ” 这一问题的回答如下：

他在论文直线程序和扭转点椭圆曲线，七成涉及Bürgisser的 -conjecture（莎布的变体和斯梅尔的τ -conjecture¹）于扭转定理和Masser定理在椭圆曲线领域。$L$$\tau$

非常粗略地讲，如果猜想是正确的（或者它的较弱形式），则可以“轻松地”推论这两个定理。他们的原始证明要困难得多。$L$

¹的 -conjecture断言，如果一个多项式p具有大小的空闲恒定直线程序（或运算电路）τ，其整数根数至多为（1 + τ ）Ç一些绝对恒定Ç。$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

$S_{2^k}$$S_{2^k}$$2^{\delta k}$

这非常符合Mike Freedman先前提到的论文的精神。

似乎许多TCS复杂性类别分离问题对数学有重大影响。特别是P =？NP问题似乎在许多领域都具有很深的联系，其中包括数学。这方面的一些值得注意的情况：

• 在20世纪初提出的希尔伯茨Nullstellensatz问题已显示出与P vs NP复杂度密切相关的易处理性，例如在Shub / Smale的Hilbert's NULLSTELLENSATZ和代数形式“ NP̸= P？”的可移植性中。这是一个持续的研究领域，例如计算机代数，组合学和复杂性： Margulies的Hilbert的Nullstellensatz和NP-complete问题。

• Fagins定理（维基百科）：

  Fagin定理是描述性复杂性理论的结果，该理论指出存在性二阶逻辑中可表达的所有属性的集合恰好是复杂性类别NP。值得注意的是，它是NP类的特征，没有调用图灵机之类的计算模型。

  P = NP的主要/令人惊讶的含义在这里意味着可以有效地计算所有二阶逻辑断言。

• 另一种情况是，存在各种各样的NP完全问题，这些问题大多仅以数学术语来表示（例如，未提及TCS概念，例如TM，不确定性等）。如果将图论（相当合理）视为数学的话，那么这个列表可能会很大。但是，即使对“数学”的狭义解释也会导致案例，例如在数论中。

  $a,b,c$$x\le c$$x^2\equiv a\pmod b$

  • NP完全自然的自然问题是否存在？tcs.se
  • 数论与NP完成数学溢出