限制硬语言会容易吗？

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以下所有内容能否同时成立？

$L_s$ 包含在对于所有正整数。 $L_{s+1}$ $s$
$L = \bigcup_s L_s$ 是上所有有限词的语言。 $\{0,1\}$
有一些复杂度等级和适合于的归约概念，使得对于每个，对于来说很难。 $C$ $C$ $s$ $L_s$ $C$

cc.complexity-theory complexity-classes reductions

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能行吗？给定（二进制编码）布尔公式的枚举定义其中是枚举中第不满足的公式？

φ_{1}, φ_{2}, . . .

$\varphi_1, \varphi_2,...$

L_{s} = S A T \cup {φ_{i_{1}}, . . ., φ_{i_{s}}}

$L_s = SAT \cup \{ \varphi_{i_1},...,\varphi_{i_s}\}$

φ_{i_{1}}, . . ., φ_{i_{s}}

$\varphi_{i_1},...,\varphi_{i_s}$

s

$s$

— Marzio De Biasi 2014年

这似乎可行，也许可以解决？

— 安德拉斯·萨拉蒙

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我认为我们可以从某种基本语言，然后取和。 $L$ $L_0 = L$ $L_{s+1} = L_s \cup \{0,1\}^{s+1}$

也就是说，每个是与所有长度不超过字符串的并集。假设我们可以数到，则每个至少与一样硬，但不再困难（在渐近意义上）。 $L_s$ $L$ $s$ $L_s$ $L$ $s$

我还想到了相反的“限制”，所以每个包含在，和很容易，而每个是困难的。但是我认为我们可以从一种坚硬（但可数）的语言然后在每个步骤中删除一个单词。交集应为空（每个单词最终都会被删除）。 $L_{s+1}$ $L_s$ $L = \cap_s L_s$ $L_s$ $L_0$

— 高利贷
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只需添加到Marzio和usul的答案中即可：即使希望将和之间的差设为无穷集，也可以这样做（这是尝试使问题平凡无奇的一种方法，但正如我们所见，这是行不通的）。令。然后取和应该可以解决问题。 $L_s$ $L_{s+1}$ $D_n = \{ x \in \{0,1\}^* : 1x \text{ is the binary expansion of an integer divisible by } n\}$ $L_0 = L$ $L_{s+1} = L_s \cup D_s$

（对于任何固定的，如果是CLIQUE，那么将SAT简化为CLIQUE并通过填充等方法对其进行修改应该相对容易一些，以便仍然将SAT简化为CLIQUE。） $s$ $L$ $\cup D_s$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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给出一个枚举的二进制编码的布尔公式定义其中是第一在枚举不可满足公式。 $\varphi_1, \varphi_2,...$ $L_s = SAT \cup \{ \varphi_{i_1},...,\varphi_{i_s}\}$ $\varphi_{i_1},...,\varphi_{i_s}$ $s$

显然很难：给定一个布尔公式添加到它足够新的或-ED变量直到其在枚举指数变得大于（常数）。 $L_s$ $NP$ $\varphi$ $x_i$ $\varphi \lor x_1 \lor ... \lor x_n$ $i_s$

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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再次考虑，这似乎需要一种编码，对于该编码，必须保证每个有限字作为某些CNF公式的编码出现。但是，然后可以修改第二个条件，以使

是编码中所有语法有效的CNF公式的语言；这仍然抓住了问题的精神。

L

$L$

— 安德拉斯·萨拉蒙

对于硬度，似乎足以观察到，如果

是NP难解，和

是一个有限的语言，然后

也是NP难题。

L

$L$

L^{'}

$L'$

L \cup L^{'}

$L \cup L'$

— 安德拉斯·萨拉蒙

@AndrásSalamon：您对硬度证明是正确的：-S！但是，我认为可以在多项式时间内实现“完美”编码（N与所有有效公式之间的双射）。

— Marzio De Biasi 2014年