表明该问题的技术在于硬度“ limbo”

给定的一个新问题，其真正复杂度介于和NP完全之间，我知道有两种方法可以用来证明解决这一问题很困难： $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

证明问题是GI完全的（GI =图同构）
证明问题出在。通过已知结果，这样的结果意味着如果问题是NP完全的，则PH会下降到第二个级别。例如，著名的图非同构协议正是这样做的。 $\mathsf{co-AM}$

是否使用过其他方法（也许具有不同的“信念强度”）？对于任何答案，都需要一个实际使用位置的示例：显然，有很多方法可以尝试证明这一点，但是示例使该论点更具说服力。

如果问题似乎足够困难，但您无法证明它是NPC，则快速检查是计算该语言中长度为n的字符串的数量：如果集合稀疏，则不可能是NPC（否则P = Mahaney定理所表示的NP）...因此，最好直接努力证明它在P中：-) :-) Fortnow＆Gasarch博客中的一个示例：{（n，k）：存在一种划分{ 1，...，n}最多可放入k个盒子，因此没有盒子具有x，y，z且x + y = z}

— Marzio De Biasi 2014年

@MarzioDeBiasi听起来像是对我的答复。

— Sasho Nikolov 2014年

这种演示包括两个部分：显示将问题放置在BPP中的难度，以及显示将问题放置在NP-完全类中的难度。

$\:$ （回想一下，GI完整性仅表示“存在于GI中并且是GI困难的”。）

$\;\;\;$

瑞奇·德默（Ricky Demer）+1；我们可能需要第一部分的方法列表。

— Pteromys

对于FNP中没有明显决策版本的问题，PPAD是一个有用的（并且正在不断增长）的类。完全PPAD问题包括许多有关找到不动点的问题，例如纳什均衡。湿婆的列表非常有用：cs.princeton.edu/~kintali/ppad.html

— 安德拉斯·萨拉蒙

Answers:

表明您的问题出在coAM（或SZK）中，确实是得出“硬度边缘”证据的主要方法之一。除此之外，还有其他几个：

表明您的问题出在NP∩coNP中。（例如：保理。）
证明您的问题在拟多项式时间内可以解决。（例如：VC尺寸，近似免费游戏。）
证明您的问题并不比单向函数求逆或平均求解NP困难。（示例：密码学中的很多问题。）
证明您的问题减少到（例如）独特游戏或小型扩展。
证明您的问题出在BQP中。（例如：保理，尽管当然也包含在NP∩coNP中。）
排除大类的NP完整性降低。（例如：Kabanets和Cai研究的电路最小化问题。）

我确定还有其他我会忘记的事情。

— 斯科特·亚伦森
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这是一个很好的清单，斯科特！

— Suresh Venkat 2014年

只是好奇...这些技术中的哪一种表明该问题不太可能在多项式时间内（或RP或BPP）解决？我没有看到任何这样做的东西。

— 菲利普·怀特

菲利普：你是对的，他们不是。为了获得证据证明某个特定的NP问题不在P中，将其归结为（1）尝试将其放入P并失败，和/或（2）减少人们未能将P放入该问题的其他问题。

— Scott Aaronson

这是Scott列表中的三项补充：

表明你的问题在几P中。这意味着解决方案的数量受某个多项式的限制。（示例：收费公路问题）。很少有人知道没有NP完全问题。（除非少数P = NP，否则不可能）。
$LOGNP$ $NP[log^2n]$
$2^{n^{\epsilon}}$ $NP$ $\epsilon \gt 0$ $n\ge 0$ $2^{n^{\epsilon}}$ $n$

$coNP ⊆ NP/poly$

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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甚至是UP（不仅仅是FewP）！

— 2014年

$n$

一个示例是将数字划分为k个框的问题（来自Fortnow＆Gasarch的博客，原始来源：Ecco博士的Cyberpuzzles）：

$\{ (n,k) \mid \text{ there exists a way to partition }$ $\{1,...,n\} \text{ into at most k boxes so that no box has } x,y,z \text{ with } x+y=z \}$

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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