为什么拥有NP中级地位的自然候选人如此之少？

通过拉德纳定理众所周知，如果${\mathsf P}\neq \mathsf {NP}$，则存在无限多个$\mathsf {NP}$中间（$\mathsf{NPI}$）问题。对于这种状态，也有自然的候选者，例如图同构，以及其他一些人，请参见 P与NPC之间的问题。然而，绝大多数公知的人群$natural$ $\mathsf {NP}$ -problems已知是无论是在$\mathsf {P}$或$\mathsf {NPC}$。他们中只有一小部分仍然是N P I的候选人$\mathsf {NPI}$。换句话说，如果我们在已知问题中随机选择一个自然的问题，我们几乎没有机会选择一个N P I候选对象。这个现象有什么解释吗？$\mathsf {NP}$$\mathsf {NPI}$

我可以考虑3种可能的解释，更多是在哲学方面：

1. 之所以选择天然候选对象的比例很小，是因为 N P I最终将是空的。我知道，这意味着P = N P，所以可能性很小。但是，仍然可以争论（尽管我不是其中之一），自然N P I问题的稀缺性是一种经验性观察，与大多数其他观察相反，它似乎实际上支持P = N $\mathsf {NPI}$$\mathsf {NPI}$${\mathsf P} =\mathsf {NP}$$\mathsf {NPI}$${\mathsf P} =\mathsf {NP}$

2. “自然 ” 的较小代表了在简单问题和困难问题之间的一种尖锐的相变。显然，有意义的，自然的算法问题的表现方式是趋于容易或困难，过渡狭窄（但仍然存在）。$\mathsf {NPI}$

3. 在2的参数可以采取极端：最终在“天然-所有问题 ”将被放入P ∪ ñ P c ^，但P ≠ ñ P，所以ñ P 我 ≠ ∅。这意味着N P I中所有剩余的问题$\mathsf {NPI}$$\mathsf {P} \cup \mathsf {NPC}$${\mathsf P}\neq \mathsf {NP}$$\mathsf {NPI}\neq \emptyset$$\mathsf {NPI}$是“非自然的”（人为的，没有现实意义）。对此的一种解释可能是自然问题是容易的，也可能是困难的。过渡只是一个逻辑结构，没有“物理”意义。这在某种程度上使人联想到无理数，这是完全合乎逻辑的，但不会作为任何物理量的测量值出现。因此，它们不是来自物理现实，而是处于该现实的“逻辑封闭”中。

您最喜欢哪种解释，或者可以提出另一种解释？

正如其他人指出的那样，您要解释的内容在多大程度上是真实的还是有争议的。有人可能会争辩说，在20世纪60年代和70年代，理论上的计算机科学家对那些最终证明是P或NP完全的问题更感兴趣。如今，由于复杂性的提高（理论密码学，量子计算，晶格等）以及NP完全性已经变得如此容易理解这一简单事实，我们变得越来越感兴趣最终成为NP中间问题。

仍然有人会问：在某种程度上说这是真实的，也就是说，在如此之多的自然搜索和优化问题都“抢断”为NP完全或P的情况下， ，为什么会这样呢？在这里，我认为您可以通过查看可计算性方面的更早现象来获得很多直觉：如此多的自然计算模型“突跳”为图灵完备。在这种情况下，我的解释是，一旦您有了一些基本组件-读/写内存，循环，条件等-很难避免能够模拟图灵机，因此图灵完备。以几乎相同的方式，一旦您的搜索或优化问题具有一些基本组成部分（最重要的是，能够构建模仿“与”，“或”和“非”之类的逻辑门的“小工具”的能力），就很难避免编码SAT，因此是NP完整的。

我喜欢这样思考，像SAT这样的问题对附近的所有其他计算问题产生了强大的“引力”，使他们也想“抢购”成为NP完全的。因此，当又有一个问题屈服于这种拉力时，通常甚至不需要特别说明！更为引人注目的是，当（显然）困难的NP问题具有使其能够抵抗 SAT引力的特性时，就更需要解释了。然后我们想知道：那是什么财产？ 您为什么不能为此问题打出通常的NP完整性技巧，即构造可对布尔逻辑门进行编码的小工具？我在最近的CS.SE答案中列出了该问题的一些常见答案。，但是（正如另一位评论者已经指出的那样），我还错过了其他可能的答案。

许多自然问题可以表示为约束满意度问题，并且对于CSP有二分法定理。

只是开个玩笑：考虑到Scott Aaronson的好答案中的“ SAT引力”之后，我想到了另一个比喻：3-SAT 2-SAT三明治！

...但是我不知道三明治是否可以填充天然成分（但是我发现三明治可以填充一些-SAT调味酱[1]（如果指数时间假说成立）:-D$(2 + \frac{(\log n)^k}{n^2})$

在[1]另一个结果是，它不能被填充有$(2+1/n^{2−\epsilon}),0<\epsilon<2$。

[1] 赵云磊，邓小铁，李超，朱宏， SAT及其性质$(2+f(n))$，离散应用数学，第136卷，2004年1月30日，第3-11页，ISSN 0166 -218X。

我们不能排除存在大量自然 中间问题的可能性。明显的稀缺性是由于缺乏在某些可能的复杂性猜想下证明N P-中间状态所需的必要技术和工具（Arora和Barak指出，即使假设P，我们也无法证明任何自然N P问题的N P-中间状态。≠ N P）。$NP$$NP$$NP$$NP$$P \ne NP$

看来，自然中间问题的闸门是开放的。Jonsson，Lagerkvist和Nordh扩展了Ladner的对角化技术（称为问题中的漏洞），并将其应用于约束满足问题。他们获得了一个CSP，可以作为N P-中间状态的候选者。他们证明了命题绑架问题具有N P-中间片段。$NP$$NP$$NP$

此外，假设F P T ≠ W [ 1 ]，Grohe证明了中间CSP问题的存在。他通过限制相应原始图的树宽来获得此类问题。$NP$$FPT \ne W[1]$

参考文献：

1- M. Grohe。从另一侧看，同态的复杂性和约束满足问题。ACM杂志，54（1），第1条，2007年

2-Peter Jonsson，Victor Lagerkvist和Gustav Nordh。计算问题各个方面的漏洞，以及对约束满意度的应用。在第19届约束编程原理与实践国际会议论文集（CP-2013）中。2013。

这是关于NP中间问题的Goldilocks结构的童话。（警告：这个故事可能是有用的谬论，可以用来产生和检验潜在的假设，但并不意味着要严格地讲科学。它依赖于指数时间假说（一部分Kolmogorov复杂性魔术，一部分是借鉴了SAT理论）解决方法以及陶恩斯（Terence Tao）对问题的启发式三分法。如需承担所有与数学有关的挥霍性调解，请自担风险。

如果NP中问题的几乎所有实例都是高度结构化的，则问题实际上在P中。因此，几乎所有实例都包含很多冗余，并且针对该问题的多项式时间算法是排除冗余的一种方法。甚至可以想象，通过在EXP中处理一些问题并通过某种形式的填充（不一定是通常的填充）来添加一些结构化的冗余，可以获得P中的每个问题。如果是这样，则可以将多项式时间算法视为撤销该填充的有效方法。

如果有足够多的没有结构化的实例形成“硬度核”，那么问题就在于NP完全。

但是，如果此“硬度核心”太稀疏，则它仅具有表示某些SAT的空间，因此问题出在P或NP中间。（该论点是拉德纳定理的本质）。用斯科特的类比，“硬度核心”对问题产生了引力，使之成为NP完全的。“硬度核心”中的实例没有太多冗余，并且对所有这些实例均有效的唯一可行算法是蛮力搜索（当然，如果只有有限的数量，则表查找也将起作用）。

从这个角度来看，NP中间问题在实践中应该很少见，因为它们需要结构化和非结构化实例之间的良好Goldilocks平衡。实例应具有足够的冗余度，以使它们部分适合算法，但实例中应有足够的硬度核心，而问题不在P中。

一个人可以根据谜题讲述一个更简单（有趣，但也可能更具误导性）的故事。仅需几个约束，就可以强制执行大量搜索，例如NxN Sudoku是NP完整的。现在考虑一次被要求一次解决很多小难题（例如，许多9x9 Sudokus）。在每种情况下，谜题数量所花费的时间将大致呈线性关系，然后在P中出现此问题。对于中间问题，人们可以认为每个实例都是稍大（但不要太大）的数独上的数独。 （但不要太大）网格。我们之所以没有观察到很多这样的问题，是因为它们摆姿势和解决起来很乏味！

几个答案指出了我提问的前提（自然界的相对稀缺 $\mathsf{NPI}$-候选人）可能会令人怀疑。经过一番思考，我必须接受他们的观点。实际上，甚至可以说出实际上更自然的情况。$\mathsf{NPI}$ 候选人比自然 $\mathsf{NP}$-完整的问题。争论可以如下。

考虑LOGCLIQUE问题，该问题旨在确定是否 $n$-vertex输入图具有一定的大小 $\geq \log n$。这是自然的$\mathsf{NPI}$候选人。现在，可以在任何位置执行相同类型的“按比例缩小” $\mathsf{NP}$-完整的问题。只需替换问题“输入字符串是否正确$x$ 有财产 $Q$“按比例缩小的问题？” $x$ 具有具有属性的对数大小的子字符串 $Q$?" (We may restrict ourselves only to those substrings that represent the appropriate type of structure, such as subgraphs etc.) Arguably, if the original problem was natural, the scaling down does not change this, since we only alter the size of what is sought for. The resulting problem will be an $\mathsf{NPI}$ candidate, since it is solvable in quasi-polynomial time, but still unlikely to fall into $\mathsf{P}$, as the mere size restriction probably does not introduce new structure.

This way, we can construct a natural $\mathsf{NPI}$ candidate for every natural $\mathsf{NP}$-complete problem. Additionally, there are also generic candidates that do not arise via scaling down, such as Graph Isomorphism, Factoring etc. Thus, one can indeed make the case that "natural-$\mathsf{NPI}$" is actually more populous than "natural $\mathsf{NPC}$."

Of course, this scaling down process, using Scott's nice metaphor, gives an obvious reason for resisting the "gravitational pull" of SAT. While there are papers published about LOGCLIQUE and similar problems, they did not draw too much attention, as these problems are less exciting than the the generic $\mathsf{NPI}$ candidates, where there is no clear understanding of how the gravitational pull is resisted, without falling into $\mathsf{P}$.