查找最大成对不相交集的复杂性

假设我有集合，其中的元素取自可能的元素。每个集合的大小为（），其中集合可以重叠。我想确定以下两个问题是否是NP完全的：$P$$r$$n$$n<r$

问题A.在集合中是否存在（）不同的集合（即它们的成对相交是空的）？$M$$1 \le M \le P$$P$

问题B。现在可以从每个集合中选择（）个元素。是否有（）不同组大小的每个内组？注意，从每组元素中只能提取元素的集合。$k$$k<n$$L$$1 \le L \le P$$k$$P$$k$$n$

备注：我主要对固定（）的情况感兴趣。$k,n$$n \ge 2, k \ge 2$

我认为问题A可以看作是均匀部超图匹配问题。也就是说，我们将的元素作为顶点，并且每个超边包含图的个顶点的子集。$n$$r$$r$$n$

1. 在均匀局部超图匹配问题中NP完全吗？$n$$r$

2. 我认为问题B等同于从基数超边缘中找到基数的不同超边缘的数量。问题A NP-是否完全受限（在某种意义上说，每个基数集均取自元素的预先选择的集合，而不是任意取自元素）？$k$$n$$k$$n$$r$

例子（）：$n=3,r=5, P=3$

$A=\{1,2,3\}$，，$B=\{2,3,4\}$$C=\{3,4,5\}$

如果，则只有个不同的集合，即或或，因为，，都具有非-空路口。$k=n=3$$M=1$$A$$B$$C$$(A,B)$$(A,C)$$(B,C)$

如果，我们有不同的集合：一个解是，（和子集）。$k=2$$L=2$$\{1,2\}$$\{3,4\}$$A$$B$

这是最大装箱问题的特例，问题A和B都是NP-Complete。注意，该问题是一个简单的匹配问题，如果，并且还容易的，如果。所以我假设。$n=2$$n=1$$n \ge 3$

而不是问这个问题，

在组中是否有不相交的组？$M$$P$

让我们问以下问题

我们从集合中获得的不交集的最大数量是多少？$P$

显然，如果第二个问题在多项式时间内是可回答的，那么第一个问题也是如此，因为我们要做的就是将该最大值与进行比较，如果小于或等于该最大值，则输出YES，否则输出NO。$M$$M$

另外，如果第一个问题在多项式时间内是可回答的，那么第二个也是，因为我们可以对使用二进制搜索并获得第二个问题的答案，而只添加因数$M$$O(\log{M})$

因此，我们可以得出结论，两个问题都是等效的。即，当且仅当问题2也是如此时，问题1才可以解决多项式时间。

同样很明显，问题出在NP上，因为我们可以轻松地验证输出的集是不相交的。$M$

因此，现在的问题是我们如何将已知的NP-Hard问题减少到这一点？为此，我们减少了最大包装问题。我将仅关注问题A，因为通过设置可以很容易地证明问题B很困难$k=n-1$

考虑最大集合打包问题的任意实例。请注意，问题A和原始最大包装问题之间的唯一区别是，在问题A中，包装的大小必须相等。令为中所有集合的最大基数。如果中的每个集合都具有相同的基数，则我们完成了，并且集合覆盖问题恰好是问题A。现在假设对于某个集合，我们具有。我们只需将元素添加到，这些元素不是中任何集合的元素。我们重复此过程，直到所有集合$T$$t$$T$$T$$S_i \in T$$|S_i| < t$$(t-|S_i|)$$S_i$$T$$S_i \in T$具有相同的大小。显然，以这种方式添加新元素不会更改不交集的最大数量的大小。

因此，如果我们可以在多项式时间内解决问题，则可以在多项式时间内解决最大集合压缩问题，因为我们要做的就是删除添加的额外元素，并且这样做不会改变元素的大小。中不相交集的最大数量。$A$$T$

编辑-有关问题B的一些其他信息

假设问题B具有多项式时间解，现在考虑问题A 的任意实例，每组元素。现在我们向每个集合添加一个虚拟元素。我们现在问以下问题。$T$$n$$d$$T$

通过从每个集合中获取元素，我们可以获得的不相交集合的最大数量是 多少？$n$

现在我们知道，在最大的集合中，其中最多可以包含一个虚拟元素，因此，如果我们得到的答案最大为，则实例的实际最大集合数（我们的原始问题A）是或，但这对于最大装箱量给出了一个恒定的因子近似值。并且仅当，这种近似是可能的。因此，问题B也很难。$M$$T$$M$$(M-1)$$P=NP$