这个路径问题的复杂性是什么？

实例：一个无向图具有两个不同的顶点和一个整数。 $G$ $s\neq t$ $k\geq 2$

问题：是否存在一条路径，使得该路径最多接触个顶点？（如果顶点在路径上或路径上有邻居，则路径会触摸该顶点。） $s-t$ $G$ $k$

cc.complexity-theory graph-theory graph-algorithms

这听起来像是受约束的子模块最小化。不幸的是，尚不清楚这组约束是否允许有效的解决方案。

— Suresh Venkat 2014年

我对回答可能不正确！在更仔细地检查之后，启发式方法似乎并不是单调的。

A^{*}

$A^*$

— usul 2014年

遵循Suresh的评论，值得检查“具有多智能体次模块成本函数的组合问题的逼近性”一文，该论文表明，次模块成本最短路径很难。也许那里有些想法显示出坚硬。computer.org/csdl/proceedings/focs/2009/3850/00/...

— 钱德拉Chekuri

该问题可以改写为找到一条毛虫子图，该子图的最长路径上最多包含和个顶点。

k

$k$

s

$s$

t

$t$

— Obinna Okechukwu 2014年

@Obinna毛毛虫子图在某种意义上必须是最大的，因为我们必须包括最长路径的所有邻居

— SamM 2014年

在以下方面研究了此问题：

Shiri Chechik，Matthew P. Johnson，Merav Parter，David Peleg：偏僻的连接问题。ESA 2013：301-312。

http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf

他们称其为僻静路径问题。这确实是NP难点，并且优化版本没有恒定因子近似值。

作者提供的动机是一种设置，其中信息是通过路径发送的，只有路径中的邻居和节点才能看到它。目的是使暴露最小化。

— 用户名
source

编辑：请参阅下面的user20655答案，以获取对已经证明此问题严重的论文的参考。如果有人要查看此替代证明，我将保留原始帖子。

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考虑一个MIN-SAT实例，它是一个NP难题，由变量和子句。我们将减少您的路径问题。 $X = \{x_1, x_2, \cdots\, x_n\}$ $C = \{c_1, c_2, c_3, \cdots\}$

每个我们将有两个顶点（一个为否定形式，一个为非否定形式），每个一个顶点。此外，令，我们将有个顶点用于填充。 $x_i$ $c_i$ $m = 2n+|C|$ $m$ $p_1, p_2, \cdots, p_{m}$

粗略地说，我们将构建一个图，其中最佳解决方案是使用 s和 s作为中间节点来构建从到的路径。如果将路径转换为赋值，该路径的成本将恰好是我们选择的路径所要满足的。该 s为只是为了防止最佳的解决方案是因为能够通过短切通过任何的欺骗秒。 $s$ $t$ $x_i$ $\bar{x_i}$ $c_j$ $p_i$ $c_j$

连接任何条款其中出现和任何条款其中出现。为了强制分配变量，我们创建了菱形梯形结构，其中和都分别连接到和。同时连接到和而同时连接到和。最后，每个 $x_i$ $c_j$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $c_j$ $\overline{x_i}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $x_{i+1}$ $\overline{x_{i+1}}$ $s$ $x_1$ $\overline{x_1}$ $t$ $x_n$ $\overline{x_n}$ $c_i$ 与所有填充变量连接。我没有方便的图形绘制软件，因此这是此结构的（极其）粗略绘制的图： $p_j$

硬实例的构造

（请注意，这里的云只是一组很大的顶点，从到该云的每个粗边都表示连接到该集合中的每个顶点。） $\{P_i\}$ $c_j$ $c_j$

声称在最小接触路径问题的最佳解决方案中，将接触路径的顶点数量为，其中是MIN-SAT实例的最佳解决方案。这是因为 $Q + 2n + 2$ $Q$

路径需要从开始并在结束，而最好的方法是在不收集所有填充顶点的情况下，保持从到而不会为任何收集和（这很直观，因为从选择两次的任何变量中删除两个选项之一会产生一条有效路径，其成本不大于我们同时保留的两个路径）。 $s$ $t$ $y_i \in \{x_i, \overline{x_i}\}$ $y_{i+1} \in \{x_{i+1}, \overline{x_{i+1}}\}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $i \in 1, \cdots, n$
有至多成本的溶液即变为，收集的任何外，，，，和。由于任何获得填充的路径都必须至少包含，，一些，一些和以及所有，因此其成本为，因此它不是最优的。因此，最佳解决方案不会碰到任何填充顶点，因此路径必须按照第（1）部分所述进行。 $m+2$ $s, x_1, x_2, \cdots, x_n, t$ $s$ $t$ $\{x_i\}$ $\{\overline{x_i}\}$ $\{c_i\}$ $s-t$ $s$ $t$ $c_i$ $x_i$ $x_j$ $\{p\}$ $\geq m+5$
调用与路径经过的顶点相对应的变量赋值（和除外）来诱导路径的赋值。顶点被触摸当且仅当该路径将满足条款的诱导分配。相反，变量的赋值是满足条款可以转化为路径，该路径恰好触及的的人民共同期待的路径诱导说分配。 $s$ $t$ $c_j$ $c_j$ $Q$ $Q$ $c_j$
每个和以及和都触及此路径。这些加在一起为总成本贡献了。其余部分来自被触摸的，在最佳解决方案中的代价为 $x_i$ $\overline{x_i}$ $s$ $t$ $2n + 2$ $c_i$ $Q$

因此，如果您构造的图形在路径问题的实例中具有成本，我们可以检查MIN-SAT实例是否具有成本的解决方案。特别是，我们可以通过减少Karp来实现。因此，所述问题是NP困难的。 $\leq k$ $\leq k + 2n + 2$

— Yonatan N
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