具有遗传性但不具有累加性的NP完全图属性？

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如果图属性相对于删除顶点是闭合的，则该图属性称为“ 遗传”（即，所有诱导子图都继承该属性）。如果图属性相对于采用不相交的联合是封闭的，则称为加性。

不难发现具有遗传性但不具有累加性的特性。两个简单的例子：

$\;\;\;$ （1）图形完成。

$\;\;\;$ （2）该图不包含两个顶点不相交的周期。

在这些情况下，很明显，该属性是由归纳子图继承的，但是采用两个具有该属性的不相交图，它们的并集可能不会保留该属性。

上面的两个例子都是可乘性决定的属性（尽管对于（2）来说，它的重要性不那么重要）。如果我们想要更硬的属性，仍然可以通过遵循（2）的模式来创建它们，但是用更复杂的图形类型替换循环。然后，但是，我们可以很容易碰到的情况是哪里的问题甚至不留在，在标准的复杂性假设，如。查找位于内的示例似乎不太容易，但仍然很困难。 $NP$ $NP\neq coNP$ $NP$

问题：您知道遗传的完备图属性（但不是自然的）吗？ $NP$

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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4

您现在已经问了一些有关“自然”属性的问题。了解某些问题的动机可能会有所帮助。

— Suresh Venkat 2014年

1

@Suresh我想更好地了解是什么使问题自然发生，而不是人为的，人为的。我认为，自然概念是理论与现实之间的重要桥梁，值得探讨。我发现有趣的是，即使我们没有正式定义哪些问题是“自然的”，人们通常仍对特定问题是否自然而有明确的共识。也许我将对此问题发布一个单独的问题，以了解更多有关其他人的看法。

— Andras Farago 2014年

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我认为，个覆盖问题具有所需的属性，该问题询问集合中是否存在顶点的分区，以使每个集合都产生一个派系。 $k$ $k$

显然，采用归纳子图不能使这种分区的最小大小增加。另一方面，当您采用两个图的不相交的并集时，您必须将分区的并集合并为每个图的集团。

— Vinicius dos Santos
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k

$k$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

h e r e d i t a r y

$hereditary$

k

$k$

k

$k$

4

k

$k$

k

$k$

1

k = 3

$k=3$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

1

考虑这个问题

$G$ $P$ $Q$

即使这些属性是遗传性的，它也保持NP完整。

现在，显然对于图的上述问题的解决方案也为归纳子图提供了解决方案。但是，当采用与G相同族的图的并集时，可能无法使用该解决方案来解决。

例如，在不相交的单位间隔图中划分普通图是NP完全的，但是在采取所有可能的边的并集（使图完整）后，即可轻松解决该问题。

— 迪比亚扬
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1

请注意，该问题所寻找的属性不可加。在您的示例中，似乎无法保证必须存在两个都具有属性的图，但是它们的不相交并集却没有。

— Andras Farago 2014年

1

$G = (V,E)$ $C_1,\ldots,C_m$ $C_i$ $V$ $E$ $C_i$

$k \geq 3$ $G$ $k$

$k = 2$

如果（1）为真，那么它应该回答您的问题，因为它提供的是遗传性的，但显然不是可累加的。

（注意：猜想（2）与Szekeres和Seymour的“双周期掩盖猜想”不同，尽管是同音的）。

— 速8
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1

此属性不是遗传性的。移除顶点可能会增加覆盖所有边缘所需的循环数，因为移除的顶点可能会消除用于覆盖许多边缘的循环。最简单的例子是整个图形只是一个循环。顶点的移除使得不可能进行任何循环覆盖，因为没有剩余的循环。

— Andras Farago 2014年

G

$G$

G

$G$

v

$v$

v

$v$

k

$k$