将行列式表示为永久

TCS中的一个主要问题是表达永久物作为决定因素的问题。我正在阅读Agrawal的论文《行列式与永久》，他在一个段落中声称反向问题很容易。

这是很容易看到，矩阵的行列式可以表示为永久相关矩阵的输入为0，1，或 S和其大小的（设置项X，使得DET DET 和对应于具有偶数周期的每个置换该产品是零）。 $X$ $Xˆ$ $x_{i,j}$ $O(n)$ $Xˆ$ $X$

首先，我认为0、1和变量不够用，因为我们会缺少否定项。但是，即使我们允许-1和变量，以及，我不明白为什么在规模增长可以做出线性的。有人可以向我解释一下构造吗？ $x_{i,j}$ $-x_{i,j}$

cc.complexity-theory algebraic-complexity permanent determinant

— 法纳克
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请注意，他说的是

，不是

。

提供了必要的符号。

x_{i j} s

$x_{ij} s$

x_{i j}

$x_{ij}$

s = \pm 1

$s = \pm 1$

— 杰弗里·欧文

@GeoffreyIrving，这种解释对我来说似乎不对……据我所知，“ s”是在文本模式下排版的，而不是在数学模式下排版的；从未将“ s”定义为变量；而“ s”没有任何索引。我认为这只是表示复数。

— usul 2014年

我认为@usul是正确的。他使用了“S”为复数（即许多

）。

x_{i j}

$x_{ij}$

— Suresh Venkat 2014年

我应该指出，与排列符号相关的负项由他的评论处理，该评论说您设置矩阵，以便与偶数循环相关的项减少为零。

— Suresh Venkat 2014年

@SureshVenkat：听起来说起来容易做起来难（至少对我来说）。您能否以4x4矩阵举例说明这一点？

— Farnak 2014年

我认为这可能是Agrawal论文中的错字。我所知道的最好的方法是通过将行列式写为代数分支程序来写行列式作为大小的永久物的投影（我认为这是目前最著名的）。请参阅此答案的评论。 $n \times n$ $O(n^3)$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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什么是ABP？

— Suresh Venkat 2014年

@SureshVenkat：我用他们的全名和指向更多参考文献的链接更新了答案。如果您对ABP有任何疑问，请随时在此处发布或给我发送电子邮件。

— 约书亚·格罗夫