谓词的UGC硬度为？

背景：

在Subhash Khot的原始UGC论文（PDF）中，他证明了UG的难点，即确定给定CSP实例是否具有三元字母表上形式为All-all-equal（a，b，c）的所有约束形式，是否接受满足1的赋值-的约束或是否存在没有分配satisying的限制，为任意小。$\epsilon$$\frac{8}{9}+\epsilon$$\epsilon > 0$

我想知道这个结果是否已经被推广为的任何组合进制约束和大小的可变结构域其中。那是，ℓ ≥ 3 ķ ≥ 3 ℓ ≠ ķ ≠ $\ell$$\ell \ge 3$$k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

问题：

是否有近似的结果为谓词任何已知的硬度为为和？ X 我 ∈ ģ ˚F （ķ ）ℓ ，ķ ≥ 3 ℓ ≠ ķ ≠ $NAE(x_1, \dots, x_\ell)$$x_i \in GF(k)$$\ell, k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

我对值的组合特别感兴趣；例如，谓词Not-all-equal（）表示。$\ell = k$$x_1, \dots, x_k$$x_1 \dots, x_k \in GF(k)$

我意识到我上面所说的实际上是已知的。

对于和任意ķ ≥ 3，这是在Khot的FOCS 2002论文“硬度着色3-着色3均匀超图”（纸张实际上谈论一般ķ，虽然标题只谈到了3-着色的情况下） 。$\ell = 3$$k \ge 3$$k$

对于和ķ ≥ 2，实际上更强的硬度是已知的。即使有，其实只是两个值的变量赋值满足所有NAE约束（换句话说，ℓ -uniform超图可使用2种颜色，没有任何单色超边着色），它仍然是NP-很难找到一个从域大小分配ķ其满足至少1 - 1 / ķ ℓ - 1个 + ε NAE约束（为任意常数ε > $\ell \ge 4$$k \ge 2$$\ell$$k$$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$$\epsilon > 0$）。这很容易得出这样的事实，即对于超图2着色，已知的不近似结果在稳健性情况下给出了很强的密度。正式声明出现在我的SODA 2011论文中，作者是Ali Sinop，“在低色数的有界度（超）图中找到独立集合的复杂性”（SODA最终版本中的引理2.3，以及ECCC上较旧版本的引理2.8）。http://eccc.hpi-web.de/report/2010/111/）。

我从关于NAE-3SAT的搜索中找到了此页面。

我敢肯定，对这个问题你问，它应该是NP-很难说，如果该实例是满足的，或者至多约束的分数可以得到满足。也就是说，紧硬度结果（匹配什么简单地选择一个随机分配将实现），用于满足的情况下，并没有必要的UGC。$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$

对于和ℓ ≥ 4，这是从Hastad的因子7/8 +小量inapproximability 4-集合分裂（其然后可以被减少到K-组分割为结果ķ > 4）。如果否定都还好，还可以使用MAX（紧束硬度结果ℓ - 1）-SAT。$k=2$$\ell \ge 4$$k > 4$$\ell-1$

对于，Khot在FOCS 2002论文“着色3色3均匀超图的难度”中证明了这一点。（也就是说，他删除了最初的UGC假设。）$k=\ell=3$

对于和任意ķ ≥ 3，Engebretsen和我“？：150-178（2004）超过两个变量约束满意总是容易的随机结构算法25（2）”证明了这样的结果。但是，我认为我们的结果需要“折叠”，即对于某些常数a ，b，约束实际上将为NAE（x i + a ，x j + b ，x k）形式。（这类似于允许对布尔变量取反）。$\ell=3$$k\ge 3$$x_i+a,x_j+b,x_k$$a,b$

对于一般情况，我不知道是否已将其记录下来。但是，如果您确实需要，我可能可以找到一些东西或检查索赔。

Prasad Raghavendra在他的STOC'08最佳论文中证明了这一点，假设唯一游戏猜想，简单的半定规划算法可以为任何约束满足问题（包括NAE）提供最佳逼近，其中约束条件每个约束变量的数量均恒定且字母恒定。要真正知道NAE的硬度因子是多少，您需要了解简单算法对其的效果如何，即证明程序的完整性差距。我不知道是否有人已经为NAE完全做到了这一点。