Dyck语言参考完整

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Dyck语言由以下语法在符号集。直觉上，戴克语言是种不同的括号中的语言。例如，在而不是。 $\mathsf{Dyck}(k)$

S \to S S | (_{1} S)_{1} | \dots | (_{k} S)_{k} | ϵ

$S \rightarrow SS \,|\, (_1 S )_1 \,|\, \ldots \,|\, (_k S )_k \,|\, \epsilon$

{(_{1}, \dots, (_{k},)_{1}, \dots,)_{k}}

$\{(_1,\ldots,(_k,)_1,\ldots,)_k\}$

k

$k$

([]) ()

$(\,[\,]\,)\,(\,)$

D y c k (2)

$\mathsf{Dyck}(2)$

([)]

$(\,[\,)\,]$

在纸上

Dyck语言的动态算法， Frandsen，Husfeldt，Miltersen，Rauhe和Skyum，1995年，

据称以下结果是民间传说：

$\mathsf{Dyck}(k)$ 为 _0-在缩减下完成。 $\mathsf{TC}_0$ $\mathsf{AC}_0$

是否有上述参考文献的参考文献？特别是，我正在寻找任何显示至少以下之一的结果：

$\mathsf{Dyck}(k)$ 在代表任意。 $\mathsf{TC}_0$ $k$
$\mathsf{Dyck}(k)$ 是难于任意。 $\mathsf{TC}_0$ $k$

我能找到的最接近的论文是

Benjamini，Cohen和Shinkar 于Boolean Cube和Hamming Ball之间的Bi-Lipschitz双射，2013年

Lynch证明了（即正态平衡括号）在，这使我重新回到了日志空间识别和括号语言翻译的论文。 $\mathsf{Dyck}(1)$ $\mathsf{TC_0}$

也欢迎任何相关论文。谢谢！

— 张显之张显之
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请参阅“关于中某些语言的相对复杂性，作者是Barrington，Corbett $\mathsf{NC}^1$

— 萨米德
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这是从到的减少。（这意味着对于所有，被还原为。）为此，我们构造了一个多尺寸的恒定深度电路，其门为，，和。 $AC_0$ $\rm Majority$ $Dyck(1)$ $\rm Majority$ $AC_0$ $Dyck(k)$ $k \geq 1$ $AND$ $OR$ $NOT$ $Dyck(1)$

给定一个实例的做 $x \in \{0,1\}^n$ $\rm Majority$
通过将每个替换为和每个替换为计算。 $y \in \{0,1\}^{2n}$ $0$ $(($ $1$ $()$
现在，对于每个令是通过将与许多闭合括号连接而获得的字符串，即。 $i = 1,\dots, n/2$ $z_i$ $y$ $2i$ $z_i = y \circ )^{2i}$
如果对于某些则接受。否则，拒绝。 $z_i \in Dyck(1)$ $i = 1,\dots, n/2$

恒定深度的电路显然可以做到这一点。（计算可以在深度1中完成，而最后一步的计算是使用“门完成的。） $z_i$ $OR$

还很容易看出，该电路确实计算了因为仅当。 $\rm Majority$ $z_i \in Dyck(1)$ ${\rm weight}(x) = n - i$

— 伊戈尔·辛卡（Igor Shinkar）
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谢谢。您知道包含以上结果的任何论文吗？（如果纸张不是原始/最早的纸张，可以，我想追溯历史。）

— 张显之张张之之2014年

嗯...出于某种原因，我认为林奇的那篇论文也出现了类似的减少...我对此不知道其他参考。

— 伊戈尔·欣卡