愚弄任意对称函数

如果| |，则说分布是ϵ -f愚弄一个函数f È X ∈ ù（˚F （X ））- ë X ∈ d（˚F （X ））| ≤ ε。据说如果它欺骗了该类中的每个函数，就欺骗了该类。 已知ϵ偏斜的空间使子集上的奇偶校验类变得愚蠢。（请参阅Alon-Goldreich-Hastad-Peralta$\mathcal{D}$$\epsilon$$f$$|E_{x\in U}(f(x)) - E_{x\in \mathcal{D}}(f(x))| \leq \epsilon$

$\epsilon$对于此类空间的一些不错的构造）。我要问的问题是将其推广到任意对称函数。

问题：假设我们在某个子集上采用任意对称函数的类，是否有愚弄该类的分布（在少量支持下）？

一些小发现：

• 愚弄精确的阈值就足够了（当且仅当x在S的索引中恰好有k个时，为1 ）。任何分布ε -fools这些精确阈值将Ñ ε愚弄在所有对称函数Ñ位。（这是因为每个对称函数都可以写为这些确切阈值的实线性组合，其中组合中的系数为0或1。期望的线性然后给出我们想要的东西） 类似的论点也适用于一般阈值（Th S k$\text{ETh}^S_k(x)$$x$$k$$S$$\epsilon$$n\epsilon$$n$
  
  $\text{Th}^S_k(x)$当且仅当在S的索引中至少有k个时为1$x$$k$$S$）

• 没有与支持分布的明确建设通过$n^{O(\log n)}$ Nisan的PRG for LOGSPACE。

• 任意 1-偏移的空间将无法正常工作。例如，如果S是所有x的集合，使得x中的个数为非零模3，则实际上对ϵ偏置很小的ϵ（来自a）$\epsilon$$S$$x$$\epsilon$$\epsilon$ Arkadev Chattopadyay的结果）。但是很显然，这并不能欺骗MOD3功能。

一个有趣的子问题可能是：假设我们只想愚弄所有n个索引上的对称函数，我们有一个不错的空间吗？通过以上观察，我们只需要欺骗上的阈值函数，这只是n + 1个函数的族。因此，人们只能通过蛮力来选择分布。但是，还有更好的例子来说明每k个愚蠢Th [ n ] k的空间吗？$n$$n+1$$\text{Th}^{[n]}_k$$k$

是的，Parikshit Gopalan，Raghu Meka，Omer Reingold和David Zuckerman最近已经给出了解决此问题的一般解决方案，请参见组合形状的伪随机生成器。

$n$ $\log m$$n$

$p$