可以满足多少个3-SAT实例？

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考虑关于n个变量的3-SAT问题。可能的不同子句的数量为：

C = 2 ñ \times 2 （ ñ - 1个 ） \times 2 （ ñ - 2 ） / 3 ！ = 4 ñ （ ñ - 1个 ） （ ñ - 2 ） / 3 。

$C = 2n \times 2(n-1) \times 2(n -2) / 3! = 4 n(n-1)(n-2)/3 \text.$

问题的实例的数目是一组可能条款中的所有子集的数量：。琐碎地，对于每个，至少存在一个可满足的实例和一个不满足的实例。是否可以计算或至少估计任何给定n的可满足实例的数量？ $I = 2^C$ $n \ge 3$

cc.complexity-theory sat

— 安东尼奥·瓦莱里奥·米西里·巴隆
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另请参见相关问题cstheory.stackexchange.com/q/14953

— 安德拉斯·萨拉蒙

您介意解释如何获得计数公式吗？3在哪里！来自何方？

— 严景贤

另一个新手问题：如果配置（即，真值指派）的总数量为

，这意味着许多真值指派不能由任何问题的实例来表示。这与我的知识布尔公式是完整的，因为布尔公式可以表示任何真值表是不合常理的。这里有什么收获？

2^{2^{n}} ≫ 2^{C}

$2^{2^n} \gg 2^C$

— 严景贤

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关于SAT中的相变的悠久工作历史表明，对于任何固定的，都有一个阈值，该阈值由确定可满足性的子句数与的比值确定。粗略地说，如果该比率小于4.2，则该实例具有压倒性的可能性是可以满足的（因此，具有这么多子句和变量的实例数量的很大一部分是可以满足的）。如果比率略高于4.2，则反之成立-绝大多数情况都无法满足。 $n$ $n$

这里引用的参考文献太多了：信息来源之一是Mezard和Montanari的书。如果有人拥有有关此主题的调查等信息的来源，则可以在评论中发布或编辑此答案（我将其称为CW）

参考文献：
- Achlioptas调查
- 凡真的很难的问题是
- 精化组合搜索相变

— Suresh Venkat
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那很有趣。什么是“压倒性概率”？这是75％还是99.9999％？

— 菲利普·怀特

老实说，我不记得了。它由到切换点的比率的距离来参数化，并且像S形曲线（因此它很快就变为1）。链接的调查可能有更多的细节

— 苏雷什Venkat

1

@ Philip，Suresh：是的，这是一个非常快速的“中断”。如果看到这些图，则满足的概率将从几乎1突然变为几乎0。有趣的是，阈值取决于

。同样，有趣的是，所有这些行为似乎仅适用于随机实例。

k

$k$

— Giorgio Camerani 2010年

17

一方面，绝大多数如Suresh的评论所述，实例将无法令人满意。（实际上，我想如果您随机地对一个这样的实例进行均匀采样，则您应该已经有很大的可能性将所有八个否定作为子句包含在某个可变三元组中，即，这是不满足的。） $2^{|C|}$

另一方面，我们可能会下限通过由全零分配满足数目可满足实例的数量：这些将是，至于每个三元组变量，我们可能都不使用一个子句。 $2^{(7/8)|C|}$

$2^n$ $|C|=O(n^3)$

— 马格努斯·瓦尔斯特伦
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3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

3^{n} - 2^{n} - 2^{n - 1}

$3^n-2^n-2^{n-1}$

<

$<$

n u m b e r o f c l a u s e s

$number of clauses$

\leq

$\leq$

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$ 那么这些实例要么是唯一可满足的，要么是无法满足的。我不记得想起3-SAT的推论。还行

— Tayfun Pay

4

该答案仅涉及可满足实例数量的增长率。

$A$ $O(n^k)$ $k$ $NP$ $P=NP$

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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